262 Chap. 11. Séries de Fourier
> plot(abs(sin(x)),x=-5..5);
0
-2
2
-4
1
4
0,4
0,2
x
0
0,8
0,6
Figure 11.3 Le graphe de f
2. f est 2p-périodique, continue sur R, et de classe C
1 par morceaux. Le théorème
de convergence normale montre que la série de Fourier de f est normalement
convergente sur R, et que sa somme est égale à f .
Comme f est paire, on a b n ( f ) = 0 pour tout n ∈ N.
On a a 1 ( f ) =
2
p
p
0
sin x cos xdx = 0, et, pour n = 1,
a n ( f ) =
2
p
p
0
sin x cos nx dx =
1
p
p
0
(sin(n + 1)x − sin(n − 1)x dx)
=
1
p
−1
n + 1
[cos(n + 1)x]
p
0 +
1
n − 1
[cos(n − 1)x]
p
0
= −
2(1 + (−1)
n )
p(n 2 − 1)
Vérifions ce résultat à l’aide de Maple :
> assume(n,integer): int(sin(x)*cos(n*x),x=0..Pi);
−
1 + (−1)
n
−1 + n 2
On a donc, pour tout p ∈ N, a 2 p+1 = 0 et a 2 p =
−4
p(4 p 2 − 1)
. Il en résulte que
∀x ∈ R, |sin x| =
2
p
−
4
p
+∞
p=1
cos 2 px
4 p 2 − 1
3. En particulier, avec x = 0, on obtient
+∞
p=1
1
4 p 2 − 1
=
1
2
.