11.2 Exercices d’entraînement 261
1) La fonction f est 2p-périodique et de classe C
1 sur R. D’après le théorème de
convergence normale la série de Fourier de f est normalement convergente, et sa
somme est égale à f .
2) Le développement en série entière de la fonction exponentielle :
∀z ∈ C, e
z =
+∞
k=0
z
k
k!
donne, avec z = e
it , f (t) =
+∞
n=0
e
ikt
k!
.
Pour tout n ∈ Z,
c n ( f ) =
1
2p
2p
0
f (t)e
−int dt =
1
2p
2p
0
+∞
k=0
e
i(k−n)t
k!
dt =
1
2p
+∞
k=0
2p
0
e
i(k−n)t
k!
dt,
l’intégration terme à terme étant justifiée par la convergence normale de la série de
fonctions
v n où v n (t) =
e
i(k−n)t
k!
.
Pour k = n, on a
2p
0
e
i(k−n)t
k!
dt = 0, et on a donc c n =
1
n!
pour n ∈ N, et c n ( f ) = 0
pour n < 0.
3) Pour tout t ∈ R, f (t) = e
cos t e
i sin t , et donc | f (t)|
2 = e
2 cos t . La formule de
Parseval donne alors
1
2p
2p
0
| f (t)|
2 dt =
1
2p
2p
0
e
2 cos t dt =
+∞
n=0
1
(n!) 2 .
Exercice 11.6
Centrale PSI MP 2006, TPE PC 2007
Soit f : R → C définie par f (x) = |sin x|.
1. Donner l’allure du graphe de f .
2. Calculer les coefficients de Fourier de f . Montrer que la série de Fourier de f
est convergente, et calculer sa somme.
3. Montrer que
+∞
p=1
1
4 p 2 − 1
=
1
2
.
4. Déterminer une suite (c n ) de réels tels que ∀x ∈ R, f (x) =
+∞
n=0
c n cos
2 nx.
(À l’oral de Centrale, un logiciel de calcul formel est à disposition).
1. Le graphe de f s’obtient facilement à partir du graphe de la fonction sinus. Le
tracé suivant est obtenu à l’aide de l’instruction Maple :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit