260 Chap. 11. Séries de Fourier
S est donc 2p-périodique.
Soit p un entier relatif. Pour tout n ∈ Z, notons v n la fonction définie par
v n (x) = u n (x)e
−i px = c n e
i(n− p)x + c −n e
i(−n− p)x . Comme v n ∞ = |c n | + |c −n |,
la série de fonctions
v n converge normalement sur R. Les fonctions v n étant
continues, on peut utiliser le théorème d’intégration terme à terme sur le segment
[0, 2p] :
c p (S) =
1
2p
2p
0
S(x)e
−i px dx
=
1
2p
2p
0
+∞
n=0
u n (x)e
−i px
dx
=
+∞
n=0
1
2p
2p
0
c n e
i(n− p)x dx +
+∞
n=1
1
2p
2p
0
c −n e
i(−n− p)x dx
= c p puisque
2p
0
e
imx dx = 0 si m ∈ Z
∗ .
Ce qu’il faut savoir
Lorsque les séries numériques
c n et
c −n sont absolument convergentes, la
série trigonométrique c 0 +
(c n e
inx + c −n e
−inx ) converge normalement sur R.
Sa somme S est une fonction continue, 2p-périodique, et c n (S) = c n pour tout
n ∈ Z.
11.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 11.5
CCP PC 2007, Mines-Ponts MP 2006
On considère la fonction définie sur R par f : t → f (t) = e
e
it
.
1) Justifier que f est égale à la somme de sa série de Fourier.
2) Montrer que ∀t ∈ R, f (t) =
+∞
k=0
e
ikt
k!
.
En déduire les coefficients de Fourier c n de f pour tout n ∈ Z.
3) Montrer que
2p
0
e
2 cos t dt = 2p
+∞
n=0
1
(n!) 2 .
Indication de la rédaction : pour la question 2, utiliser le développement en série
entière de e
z , avec z = e
it .