11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 259
4. Montrer que la série de fonctions
u n converge normalement sur R si et
seulement si les séries numériques
a n et
b n sont absolument convergentes.
5. On suppose que la série de fonctions
u n converge normalement sur R, et
on désigne par S sa somme.
Montrer que S est une fonction continue et 2p-périodique, et calculer ses
coefficients de Fourier.
1. Pour tout n ∈ N
∗ , et pour tout x ∈ R, on a
|u n (x)| =
c n e
inx + c −n e
−inx
|c n | + |c −n | .
Il en résulte que u n ∞ |c n | + |c −n |.
Les nombres complexes c n et c −n peuvent être écrits sous forme trigonométrique :
c n = re
iu et c −n = r
e
iu
avec (r , r
) ∈ R
2
+ et (u, u
) ∈ R
2 .
On a alors, pour tout x ∈ R, u n (x) = re
i(u+nx) + r
e
i(u
−nx) .
Soit x 0 le nombre réel tel que u + nx 0 = u
− nx 0 . (On calcule facilement
x 0 = (u
− u)/2n)). On a alors u n (x 0 ) = (r + r
)e
i x 1 , avec x 1 = u + nx 0 , d’où
u n ∞ |u n (x 0 )| = r + r
= |c n | + |c −n | .
On a donc u n ∞ = |c n | + |c −n |.
2. Il résulte de la question précédente que la série de fonctions
u n est normalement convergente si et seulement si la série numérique de terme général |c n |+|c −n |
est convergente.
Comme 0 |c n | |c n | + |c −n | et 0 |c −n | |c n | + |c −n |, la convergence de
la série de terme général |c n | + |c −n | entraîne celle des séries de termes généraux
|c n | et |c −n |. Réciproquement si les séries de termes généraux |c n | et |c −n | sont
convergentes, leur somme est convergente.
3. On a évidemment a 0 = 2c 0 .
Pour n 1 on a u n (x) = c n e
inx + c −n e
−inx = a n cos(nx) + b n sin(nx), avec
a n = c n + c −n et b n = c n − c −n .
4. Pour tout n 1 on a |a n | |c n | + |c −n | et |b n | |c n | + |c −n |. Donc la convergence
de la série de terme général |c n | + |c −n | entraîne la convergence des séries de
termes généraux |a n | et |b n |.
On a aussi |c n | |a n | + |b n | et |c −n | |a n | + |b n |. Donc la convergence de la série
de terme général |a n | + |b n | entraîne la convergence des séries de termes généraux
|c n | et |c −n |.
5. La continuité de chaque fonction u n et la convergence normale de la série
u n
entraînent la continuité de la somme S. Pour tout x ∈ R, on a
S(x + 2p) =
+∞
n=0
u n (x + 2p) =
+∞
n=0
u n (x) = S(x) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4. Montrer que la série de fonctions
u n converge normalement sur R si et
seulement si les séries numériques
a n et
b n sont absolument convergentes.
5. On suppose que la série de fonctions
u n converge normalement sur R, et
on désigne par S sa somme.
Montrer que S est une fonction continue et 2p-périodique, et calculer ses
coefficients de Fourier.
1. Pour tout n ∈ N
∗ , et pour tout x ∈ R, on a
|u n (x)| =
c n e
inx + c −n e
−inx
|c n | + |c −n | .
Il en résulte que u n ∞ |c n | + |c −n |.
Les nombres complexes c n et c −n peuvent être écrits sous forme trigonométrique :
c n = re
iu et c −n = r
e
iu
avec (r , r
) ∈ R
2
+ et (u, u
) ∈ R
2 .
On a alors, pour tout x ∈ R, u n (x) = re
i(u+nx) + r
e
i(u
−nx) .
Soit x 0 le nombre réel tel que u + nx 0 = u
− nx 0 . (On calcule facilement
x 0 = (u
− u)/2n)). On a alors u n (x 0 ) = (r + r
)e
i x 1 , avec x 1 = u + nx 0 , d’où
u n ∞ |u n (x 0 )| = r + r
= |c n | + |c −n | .
On a donc u n ∞ = |c n | + |c −n |.
2. Il résulte de la question précédente que la série de fonctions
u n est normalement convergente si et seulement si la série numérique de terme général |c n |+|c −n |
est convergente.
Comme 0 |c n | |c n | + |c −n | et 0 |c −n | |c n | + |c −n |, la convergence de
la série de terme général |c n | + |c −n | entraîne celle des séries de termes généraux
|c n | et |c −n |. Réciproquement si les séries de termes généraux |c n | et |c −n | sont
convergentes, leur somme est convergente.
3. On a évidemment a 0 = 2c 0 .
Pour n 1 on a u n (x) = c n e
inx + c −n e
−inx = a n cos(nx) + b n sin(nx), avec
a n = c n + c −n et b n = c n − c −n .
4. Pour tout n 1 on a |a n | |c n | + |c −n | et |b n | |c n | + |c −n |. Donc la convergence
de la série de terme général |c n | + |c −n | entraîne la convergence des séries de
termes généraux |a n | et |b n |.
On a aussi |c n | |a n | + |b n | et |c −n | |a n | + |b n |. Donc la convergence de la série
de terme général |a n | + |b n | entraîne la convergence des séries de termes généraux
|c n | et |c −n |.
5. La continuité de chaque fonction u n et la convergence normale de la série
u n
entraînent la continuité de la somme S. Pour tout x ∈ R, on a
S(x + 2p) =
+∞
n=0
u n (x + 2p) =
+∞
n=0
u n (x) = S(x) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit