258 Chap. 11. Séries de Fourier
La formule de Parseval appliquée à f donne
2
p
p
0
x
2 dx =
p
2
2
+
16
p 2
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 .
On en déduit que :
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 =
p
4
96
. Posons enfin S =
+∞
n=1
1
n 4 . On peut
écrire
2N +1
n=1
1
n 4 =
N
n=1
1
(2n) 4 +
N
n=0
1
(2n + 1) 4 , d’où en faisant tendre N vers +∞,
S =
1
2 4 S +
+∞
n=0
1
(2n + 1) 4 . On en déduit que S =
p
4
90
.
11.1.1 Séries de fonctions trigonométriques
Jusqu’à présent nous sommes partis d’une fonction f ∈ C M 2p et nous lui
avons associé une série de fonctions
u n , où, pour n 1, et x ∈ R,
u n (x) = c n e
inx + c −n e
−inx .
Nous allons maintenant partir du point de vue inverse : on se donne une suite (c n ) n∈Z
de nombres complexes, et on considère la série de fonctions
u n définie par
∀x ∈ R, u 0 (x) = c 0 , et u n (x) = c n e
inx + c −n e
−inx pour n 1.
Une telle série est appelée une série trigonométrique. Il est souvent utile de
mettre en évidence son mode de convergence (notamment la convergence normale, qui permet l’utilisation du théorème d’intégration terme à terme).
Exercice 11.4
(Convergence normale d’une série trigonométrique)
Soit (c n ) n∈Z une famille de nombres complexes. Pour tout entier n ∈ N, on
définit la fonction u n par u 0 (x) = c 0 , et, pour n 1, u n (x) = c n e
inx +c −n e
−inx .
1. Montrer que u n ∞ = |c n | + |c −n | pour tout n ∈ N
∗ .
Indication de la rédaction : on pourra exprimer c n et c −n sous forme trigonométrique.
2. En déduire que la série de fonctions
u n converge normalement sur R si et
seulement si les séries numériques
c n et
c −n sont absolument convergentes.
3. Déterminer deux familles de nombres complexes, (a n ) n∈N et (b n ) n∈N ∗ telles
que u 0 (x) =
a 0
2
et u n (x) = a n cos nx + b n sin nx pour tout x ∈ R et tout
n ∈ N
∗ .
La formule de Parseval appliquée à f donne
2
p
p
0
x
2 dx =
p
2
2
+
16
p 2
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 .
On en déduit que :
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 =
p
4
96
. Posons enfin S =
+∞
n=1
1
n 4 . On peut
écrire
2N +1
n=1
1
n 4 =
N
n=1
1
(2n) 4 +
N
n=0
1
(2n + 1) 4 , d’où en faisant tendre N vers +∞,
S =
1
2 4 S +
+∞
n=0
1
(2n + 1) 4 . On en déduit que S =
p
4
90
.
11.1.1 Séries de fonctions trigonométriques
Jusqu’à présent nous sommes partis d’une fonction f ∈ C M 2p et nous lui
avons associé une série de fonctions
u n , où, pour n 1, et x ∈ R,
u n (x) = c n e
inx + c −n e
−inx .
Nous allons maintenant partir du point de vue inverse : on se donne une suite (c n ) n∈Z
de nombres complexes, et on considère la série de fonctions
u n définie par
∀x ∈ R, u 0 (x) = c 0 , et u n (x) = c n e
inx + c −n e
−inx pour n 1.
Une telle série est appelée une série trigonométrique. Il est souvent utile de
mettre en évidence son mode de convergence (notamment la convergence normale, qui permet l’utilisation du théorème d’intégration terme à terme).
Exercice 11.4
(Convergence normale d’une série trigonométrique)
Soit (c n ) n∈Z une famille de nombres complexes. Pour tout entier n ∈ N, on
définit la fonction u n par u 0 (x) = c 0 , et, pour n 1, u n (x) = c n e
inx +c −n e
−inx .
1. Montrer que u n ∞ = |c n | + |c −n | pour tout n ∈ N
∗ .
Indication de la rédaction : on pourra exprimer c n et c −n sous forme trigonométrique.
2. En déduire que la série de fonctions
u n converge normalement sur R si et
seulement si les séries numériques
c n et
c −n sont absolument convergentes.
3. Déterminer deux familles de nombres complexes, (a n ) n∈N et (b n ) n∈N ∗ telles
que u 0 (x) =
a 0
2
et u n (x) = a n cos nx + b n sin nx pour tout x ∈ R et tout
n ∈ N
∗ .