11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 257
Les fonctions f et g sont affines par morceaux ; elles sont donc de classe C
1 par
morceaux. On observe de plus que f est continue sur R. Comme g(x) = f
(x) en
chaque point où f est dérivable, on peut considérer g comme la dérivée de f .
2. Commençons par le calcul des coefficients de Fourier de g. Comme c’est une
fonction impaire, on a a n (g) = 0 pour tout n ∈ N.
Pour n ∈ N
∗ , on a b n (g) =
2
p
p
0
sin(nx)dx =
2
np
(1 − (−1)
n ). Il en résulte que,
pour tout p ∈ N, b 2 p (g) = 0 et que b 2 p+1 (g) =
4
(2 p + 1)p
.
Comme f est paire, on a b n ( f ) = 0 pour tout n ∈ N.
On calcule a 0 ( f ) =
2
p
p
0
x dx = p, puis, pour n 1, à l’aide d’une intégration
par parties :
a n ( f ) =
1
p
p
−p
f (t) cos(nt)dt
=
1
np
[ f (t) sin(nt)]
p
−p −
1
np
p
−p
f
(t) sin(nt)dt
= −
1
np
p
−p
g(t) sin(nt)dt = −
1
n
b n (g) ,
d’où a 2 p ( f ) = 0 pour tout p ∈ N
∗ , et a 2 p+1 ( f ) = −
4
(2 p + 1) 2 p
pour tout p ∈ N.
3. Comme f et g sont 2p-périodiques, de classe C
1 par morceaux sur R, le théorème
de Dirichlet montre que les séries de Fourier de f et de g sont convergentes en
chaque point, et
∀x ∈ R, f (x) =
p
2
−
4
p
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 2 cos(2 p + 1)x .
∀x ∈ R, g(x) =
4
p
+∞
p=0
1
(2 p + 1)
sin(2 p + 1)x .
(En effet f est continue sur R, et pour tout x ∈ R, la demi-somme des limites à
gauche et à droite de g au point x est égale à g(x).)
Il est très intéressant de remarquer la convergence normale de la série de Fourier
de f ( f est continue et de classe C
1 par morceaux), tandis que la série de Fourier
de g n’est pas normalement convergente.
4. Pour x =
p
2
, on obtient g(p/2) = 1 =
4
p
+∞
p=0
(−1)
p
(2 p + 1)
, d’où
+∞
p=0
(−1)
p
(2 p + 1)
=
p
4
.
Pour x = 0 on a, f (0) = 0 =
p
2
−
4
p
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 2 , d’où
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 2 =
p
2
8
.
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