256 Chap. 11. Séries de Fourier
2. Non, car pour x = 0, on obtient la série
1
n
, qui devrait converger d’après le
théorème de Dirichlet.
Exercice 11.3
Air PSI 2004, CCP MP 2006
Soit f : R → R la fonction 2p-périodique telle que f (x) = |x| pour tout
x ∈ [−p, p], et soit g la fonction 2p-périodique, impaire, telle que g(x) = 1
pour tout x ∈ ]0, p[.
1. Tracer les graphes de f et de g. Vérifier que g est de classe C
1 par morceaux,
et que f est continue et de classe C
1 par morceaux.
2. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f et de g.
3. Justifier la convergence des séries de Fourier de f et de g, et calculer leur
somme.
4. Calculer
+∞
p=0
(−1)
p
2 p + 1
,
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 2 ,
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 4 et
+∞
n=1
1
n 4 .
Indications de la rédaction : pour la question 2 on pourra remarquer que g est
la dérivée de f , dans le sens où g(x) = f
(x) en chaque point x ∈ R où f est
dérivable. Pour la question 4 on pensera à utiliser la formule de Parseval.
1. On représente sur un même dessin (FIG. 11.2) le graphe de f (en noir) et le graphe
de g (en gris) .
y
x
–1
0
1
2
3
–6
–4
–2
2
4
6
Figure 11.2 Les graphes de f et de g.