11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 255
1. Comme f est une fonction à valeurs réelles, nous utilisons les coefficients de
Fourier trigonométriques de f . Il est judicieux de modifier la valeur de f au point
x = 0 (et aussi en tous les points de la forme x = 2kp, (k ∈ Z)) et de la remplacer
par 0. Ainsi modifiée la fonction f est impaire. On a donc a n ( f ) = 0 pour tout
n ∈ N. Pour n ∈ N
∗ , on a
b n ( f ) =
1
p
2p
0
(p − t)
2
sin(nt)dt
=
1
2p
−
(p − t) cos(nt)
n
2p
0
2p
n
−
1
2np
2p
0
cos(nt)dt
0
=
1
n
.
2. Le théorème de Dirichlet montre que la Série de Fourier de f converge simplement sur R, et que pour tout x ∈ R, le série de Fourier de f converge vers la
demi-somme des limites à gauche et à droite de f au point x.
En particulier : ∀x ∈ ]0, 2p[,
p − x
2
=
+∞
n=1
sin nx
n
.
3. Utilisons la relation précédente avec x = p/2. Si n = 2 p ( p ∈ N
∗ ) on a
sin(np/2) = 0, tandis que si n = 2 p + 1 (p ∈ N), sin((2 p + 1)p/2) = (−1)
p . On
obtient donc :
+∞
p=0
(−1)
p
2 p + 1
=
p
4
.
Enfin la formule de Parseval donne
+∞
n=1
1
n 2 =
1
4p
2p
0
(p − x)
2 dx =
p
2
6
.
Exercice 11.2
Extrait de Mines-Ponts PSI, MP 2007
1. La série
sin(nx)
√
n
est-elle la série de Fourier d’une fonction continue par
morceaux, 2p-périodique ?
2. La série
cos(nx)
n
est-elle la série de Fourier d’une fonction de classe C
1
par morceaux, 2p-périodique ?
1. Non, car la série de terme général
1
√
n
2
=
1
n
devrait converger d’après la
formule de Parseval.
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