254 Chap. 11. Séries de Fourier
|b n |
2 sont convergentes et
1
2p
2p
0
| f (t)|
2 dt = |c 0 |
2 +
+∞
n=1
|c n |
2 + |c −n |
2
=
|a 0 |
2
4
+
1
2
+∞
n=1
|a n |
2 + |b n |
2
.
• Soient f et g deux fonctions continues et 2p-périodiques de R dans C. Si f et
g ont les mêmes coefficients de Fourier, alors f = g.
Exercice 11.1
Centrale MP 2007, CCP PC 2006
Soit f ∈ C M 2p telle que f (x) =
p − x
2
pour tout x ∈ [0, 2p[.
1. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f .
2. Justifier la convergence de la série de Fourier de f et calculer sa somme.
3. Calculer
+∞
p=0
(−1)
p
2 p + 1
, et
+∞
n=1
1
n 2 .
La fonction f est 2p-périodique et de classe C
1 par morceaux. Son graphe est représenté FIG. 11.1.
y
x
–2
–1
0
1
2
–6
–4
–2
2
4
6
Figure 11.1 Graphe de f
|b n |
2 sont convergentes et
1
2p
2p
0
| f (t)|
2 dt = |c 0 |
2 +
+∞
n=1
|c n |
2 + |c −n |
2
=
|a 0 |
2
4
+
1
2
+∞
n=1
|a n |
2 + |b n |
2
.
• Soient f et g deux fonctions continues et 2p-périodiques de R dans C. Si f et
g ont les mêmes coefficients de Fourier, alors f = g.
Exercice 11.1
Centrale MP 2007, CCP PC 2006
Soit f ∈ C M 2p telle que f (x) =
p − x
2
pour tout x ∈ [0, 2p[.
1. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f .
2. Justifier la convergence de la série de Fourier de f et calculer sa somme.
3. Calculer
+∞
p=0
(−1)
p
2 p + 1
, et
+∞
n=1
1
n 2 .
La fonction f est 2p-périodique et de classe C
1 par morceaux. Son graphe est représenté FIG. 11.1.
y
x
–2
–1
0
1
2
–6
–4
–2
2
4
6
Figure 11.1 Graphe de f