11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 253
Certaines propriétés de régularité de f ont des conséquences importantes sur ses
coefficients de Fourier :
• Lorsque f ∈ C M 2p , les suites (c n ( f )), (c −n ( f )), (a n ( f )) et (b n ( f )) convergent
vers 0 ; en particulier, elles sont bornées.
• Si f est 2p-périodique, continue sur R, et de classe C
1 par morceaux, alors
∀n ∈ Z, c n ( f
) = inc n ( f ).
• Plus généralement, si f est 2p-périodique, de classe C
k sur R, et de classe
C
k+1 par morceaux, alors ∀n ∈ Z, c n ( f
(k+1) ) = (in)
k+1 c n ( f ).
On en déduit que c n ( f ) = o
1
n k+1
quand |n| → ∞.
Série de Fourier d’une fonction f ∈ C M 2p
• On note u 0 la fonction constante de R dans C définie par u 0 (x) = c 0 ( f ) =
a 0 ( f )
2
,
et pour tout entier n ∈ N
∗ , on note u n la fonction de R dans C définie par
∀x ∈ R, u n (x) = c n ( f )e
inx + c −n ( f )e
−inx = a n ( f ) cos nx + b n ( f ) sin nx .
• La série de fonctions
u n est appelée la série de Fourier de f . Sa somme
partielle à l’ordre N est définie par S N (x) =
N
n=0
u n (x) =
N
n=−N
c n ( f )e
inx .
Lorsque la série de Fourier converge en un point x de R, la somme
+∞
n=0
u n (x) est
parfois notée
+∞
n=−∞
c n ( f )e
inx .
Les théorèmes fondamentaux
• Le théorème de Dirichlet : soit f : R → C une fonction 2p-périodique et de
classe C
1 par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge simplement
sur R. En chaque point x ∈ R, la somme de la série de Fourier de f est égale à la
demi-somme des limites à gauche et à droite de f . En particulier si f est continue
au point x ∈ R, alors la somme de la série de Fourier de f au point x est égale
à f (x).
• Le théorème de convergence normale : soit f : R → C une fonction 2ppériodique, de classe C
1 par morceaux, et continue sur R. Alors la série de Fourier
de f converge normalement sur R, et sa somme est égale à f .
• La formule de Parseval : soit f : R → C une fonction 2p-périodique continue par morceaux. Alors les séries numériques
|c n |
2 ,
|c −n |
2 ,
|a n |
2 et
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Certaines propriétés de régularité de f ont des conséquences importantes sur ses
coefficients de Fourier :
• Lorsque f ∈ C M 2p , les suites (c n ( f )), (c −n ( f )), (a n ( f )) et (b n ( f )) convergent
vers 0 ; en particulier, elles sont bornées.
• Si f est 2p-périodique, continue sur R, et de classe C
1 par morceaux, alors
∀n ∈ Z, c n ( f
) = inc n ( f ).
• Plus généralement, si f est 2p-périodique, de classe C
k sur R, et de classe
C
k+1 par morceaux, alors ∀n ∈ Z, c n ( f
(k+1) ) = (in)
k+1 c n ( f ).
On en déduit que c n ( f ) = o
1
n k+1
quand |n| → ∞.
Série de Fourier d’une fonction f ∈ C M 2p
• On note u 0 la fonction constante de R dans C définie par u 0 (x) = c 0 ( f ) =
a 0 ( f )
2
,
et pour tout entier n ∈ N
∗ , on note u n la fonction de R dans C définie par
∀x ∈ R, u n (x) = c n ( f )e
inx + c −n ( f )e
−inx = a n ( f ) cos nx + b n ( f ) sin nx .
• La série de fonctions
u n est appelée la série de Fourier de f . Sa somme
partielle à l’ordre N est définie par S N (x) =
N
n=0
u n (x) =
N
n=−N
c n ( f )e
inx .
Lorsque la série de Fourier converge en un point x de R, la somme
+∞
n=0
u n (x) est
parfois notée
+∞
n=−∞
c n ( f )e
inx .
Les théorèmes fondamentaux
• Le théorème de Dirichlet : soit f : R → C une fonction 2p-périodique et de
classe C
1 par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge simplement
sur R. En chaque point x ∈ R, la somme de la série de Fourier de f est égale à la
demi-somme des limites à gauche et à droite de f . En particulier si f est continue
au point x ∈ R, alors la somme de la série de Fourier de f au point x est égale
à f (x).
• Le théorème de convergence normale : soit f : R → C une fonction 2ppériodique, de classe C
1 par morceaux, et continue sur R. Alors la série de Fourier
de f converge normalement sur R, et sa somme est égale à f .
• La formule de Parseval : soit f : R → C une fonction 2p-périodique continue par morceaux. Alors les séries numériques
|c n |
2 ,
|c −n |
2 ,
|a n |
2 et
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