11 Séries de Fourier
11.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Ce qu’il faut savoir
On note C M 2p l’espace vectoriel des fonctions de R dans C, 2p-périodiques et
continues par morceaux. On note C 2p l’espace vectoriel des fonctions de R dans
C, 2p-périodiques et continues. Soit f ∈ C M 2p :
Les coefficients de Fourier exponentiels de f sont définis par
∀n ∈ Z, c n ( f ) =
1
2p
2p
0
f (t)e
−int dt .
Les coefficients de Fourier trigonométriques de f sont définis par
∀n ∈ N, a n ( f ) =
1
p
2p
0
f (t) cos nt dt , b n ( f ) =
1
p
2p
0
f (t) sin nt dt .
On trouvera dans les exercices d’assimilation (1.1, 1.3, . . .) de nombreux
exemples de calculs de coefficients de Fourier.
Les remarques suivantes sont utiles pour calculer les coefficients de Fourier d’une
fonction f ∈ C M 2p :
• Si f est paire alors, b n ( f ) = 0, et a n ( f ) =
2
p
p
0
f (t) cos nt dt.
Si f est impaire alors, a n ( f ) = 0 et b n ( f ) =
2
p
p
0
f (t) sin nt dt.
• On peut remplacer l’intervalle d’intégration [0, 2p] par un autre intervalle
d’amplitude 2p, mieux adapté à la fonction f . Par exemple on prend l’intervalle [−p, p] lorsque f est une fonction paire (ou impaire).
Notons à ce sujet que le tracé du graphe de f est souvent déterminant lors du
choix de l’intervalle d’intégration.
• Sans modifier les coefficients de Fourier, on peut modifier les valeurs de f en
un nombre fini de point sur l’intervalle d’intégration. Notamment on remplace
souvent la valeur de f en un point où est elle discontinue par la demi-somme
des limites à gauche et à droite en ce point.