10.3 Exercices d’approfondissement 251
5. On effectue les calculs et les permutations sans les justifier afin de voir où cela
mène :
F(x) =
+∞
0
1
e t − 1
+∞
n=0
(−1)
n (xt)
2n+1
(2n + 1)!
dt
(10.1)
=
+∞
0
+∞
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
t
2n+1
e t − 1
x
2n+1
dt
(10.2)
=
+∞
n=0
+∞
0
(−1)
n
(2n + 1)!
t
2n+1
e t − 1
x
2n+1
dt
(10.3)
=
+∞
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
+∞
0
t
2n+1
e t − 1
dt
x
2n+1
(10.4)
On note, pour n ∈ N, I n =
+∞
0
t
2n+1
e t − 1
dt. Dans l’exercice 9.6, page 213,
on montre que I n = G(2n + 2)z(2n + 2) où G(2n + 2) = (2n + 1)! (voir
exercice 10.9, page 244) et z(x) =
+∞
p=1
1
p x lorsque x > 1. On obtient alors
F(x) =
+∞
n=0
(−1)
n z(2n + 2)x
2n+1 . Il reste à justifier les calculs et déterminer
pour quelles valeurs de x ils sont valables. La formule (10.1) n’utilise que le
développement en série entière de la fonction sinus, valable sur R, les formules
(10.2) et (10.4) ne sont que des réécritures. Il reste à justifier l’intégration terme
à terme de (10.3). On définit u n sur R
+ par u n (t) =
(−1)
n
(2n + 1)!
t
2n+1
e t − 1
x
2n+1 .
Pour tout n ∈ N, u n est continue et intégrable sur R
∗
+ (voir les méthodes
des questions précédentes), la série de fonctions
u n converge simplement
sur R
∗
+ , et
+∞
n=0
u n est la fonction continue sur R
∗
+ t →
sin(xt)
e t − 1
. Enfin, on a
+∞
0
|u n (t)| dt =
I n |x|
2n+1
(2n + 1)!
= z(2n + 2)|x|
2n+1 . La fonction z est décroissante
sur [2, +∞[ (somme de fonctions décroissantes) et minorée par 1 (premier terme
de la somme). Donc pour tout n ∈ N, on a 1 z(2n + 2) z(2). Le rayon de
la série entière
z(2n + 2)x
2n+1 est donc le même que celui de
x
2n+1 c’est
à dire 1. La permutation est donc valable lorsque |x| < 1 (on peut également
montrer que lim
x→+∞
z(x) = 1 pour retrouver le rayon de convergence, par exemple
en appliquant le critère de d’Alembert). Finalement, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on a
F(x) =
+∞
n=0
(−1)
n z(2n + 2)x
2n+1 .
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