250 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
4. Soit x ∈ R. La fonction a : t →
sin(xt)
e t − 1
est continue sur ]0, +∞[ et intégrable
sur ]0, +∞[. On décompose
1
e t − 1
en somme de termes d’une série géométrique.
Puisque t > 0, e
t > 1, ce qui ne permet pas d’utiliser la somme d’une série
géométrique de raison e
t . On factorise par e
t et, puisque e
−t
∈ ]0, 1[, on obtient
∀t > 0,
1
e t − 1
=
e
−t
1 − e −t = e
−t
+∞
n=0
e
−nt =
+∞
n=1
e
−nt .
Pour n ∈ N
∗ , on définit a n sur R
+ par a n (t) = e
−nt sin(xt). Chacune des fonctions
a n est continue et
a n converge simplement sur R
∗
+ . La somme de cette série
de fonctions est la fonction a, puisque la série provient de la décomposition de a.
La fonction a est continue sur R
∗
+ . Pour tout t > 0, on a |a n (t)| e
−nt et a n est
intégrable sur R + . Enfin, si A > 0,
A
0
a n (t) dt = Im
A
0
e
−(n−i x)t dt
= Im
1 − e
−n A e
i x A
n − i x
La limite lorsque n tend vers l’infini donne (puisque e
−n A tend alors vers 0 et
que e
i x A est borné),
+∞
0
a n (t) dt = Im(
1
n − i x
) = Im(
n + i x
n 2 + x 2 ) =
x
n 2 + x 2 . On
espère alors pouvoir appliquer le théorème d’intégration terme à terme. Hélas,
+∞
0
|a n (t)| dt n’est pas facile à évaluer. On obtient facilement la majoration
+∞
0
|a n (t)| dt
+∞
0
e
−nt dt =
1
n
, mais cela ne permet pas d’appliquer
le théorème. On affine la majoration de
+∞
0
|a n (t)| dt. On a, pour t > 0,
a n (t) = sin(xt)e
−nt . Pour n grand, très rapidement la fonction prend des valeurs
petites, si bien que la contribution importante dans l’intégrale se fait autour de
0. Le choix de majorer | sin(xt)| par 1 est donc assez mauvais. On peut plutôt
majorer | sin(xt)| par |xt|. Cette majoration est plus mauvaise pour les grandes
valeurs de x mais elle sera largement compensée par l’exponentielle. En intégrant
par parties, on obtient
+∞
0
|a n (t)| dt |x|
+∞
0
te
−nt dx =
|x|
n
+∞
0
e
−nt dt =
|x|
n 2 .
Finalement
+∞
0
|a n (t)| dt est convergente, et on peut appliquer le théorème
d’intégration terme à terme, ce qui donne le résultat demandé.
4. Soit x ∈ R. La fonction a : t →
sin(xt)
e t − 1
est continue sur ]0, +∞[ et intégrable
sur ]0, +∞[. On décompose
1
e t − 1
en somme de termes d’une série géométrique.
Puisque t > 0, e
t > 1, ce qui ne permet pas d’utiliser la somme d’une série
géométrique de raison e
t . On factorise par e
t et, puisque e
−t
∈ ]0, 1[, on obtient
∀t > 0,
1
e t − 1
=
e
−t
1 − e −t = e
−t
+∞
n=0
e
−nt =
+∞
n=1
e
−nt .
Pour n ∈ N
∗ , on définit a n sur R
+ par a n (t) = e
−nt sin(xt). Chacune des fonctions
a n est continue et
a n converge simplement sur R
∗
+ . La somme de cette série
de fonctions est la fonction a, puisque la série provient de la décomposition de a.
La fonction a est continue sur R
∗
+ . Pour tout t > 0, on a |a n (t)| e
−nt et a n est
intégrable sur R + . Enfin, si A > 0,
A
0
a n (t) dt = Im
A
0
e
−(n−i x)t dt
= Im
1 − e
−n A e
i x A
n − i x
La limite lorsque n tend vers l’infini donne (puisque e
−n A tend alors vers 0 et
que e
i x A est borné),
+∞
0
a n (t) dt = Im(
1
n − i x
) = Im(
n + i x
n 2 + x 2 ) =
x
n 2 + x 2 . On
espère alors pouvoir appliquer le théorème d’intégration terme à terme. Hélas,
+∞
0
|a n (t)| dt n’est pas facile à évaluer. On obtient facilement la majoration
+∞
0
|a n (t)| dt
+∞
0
e
−nt dt =
1
n
, mais cela ne permet pas d’appliquer
le théorème. On affine la majoration de
+∞
0
|a n (t)| dt. On a, pour t > 0,
a n (t) = sin(xt)e
−nt . Pour n grand, très rapidement la fonction prend des valeurs
petites, si bien que la contribution importante dans l’intégrale se fait autour de
0. Le choix de majorer | sin(xt)| par 1 est donc assez mauvais. On peut plutôt
majorer | sin(xt)| par |xt|. Cette majoration est plus mauvaise pour les grandes
valeurs de x mais elle sera largement compensée par l’exponentielle. En intégrant
par parties, on obtient
+∞
0
|a n (t)| dt |x|
+∞
0
te
−nt dx =
|x|
n
+∞
0
e
−nt dt =
|x|
n 2 .
Finalement
+∞
0
|a n (t)| dt est convergente, et on peut appliquer le théorème
d’intégration terme à terme, ce qui donne le résultat demandé.