10.3 Exercices d’approfondissement 249
4. Montrer que pour tout x réel, on a F(x) =
+∞
n=1
x
x 2 + n 2 .
5. Donner le développement en série entière de F autour de 0.
On note h(x, t) =
sin(xt)
e t − 1
pour x ∈ R et t ∈ R
∗
+ .
1. Soit x ∈ R. La fonction g x : t → h(x, t) est définie et continue sur R
∗
+ . Puisque
g(t) ∼
t→0
xt
t
= x, on peut prolonger g x par continuité en 0 et g x est intégrable sur
]0, 1]. De plus g x (t) = O
t→+∞
(e
−t ) et g x est intégrable sur [1, +∞[. Finalement, la
fonction g x est continue et intégrable sur R
∗
+ pour tout x ∈ R. Donc f est définie
sur R, et on montre facilement que f est impaire.
2. Pour tout x ∈ R, t → h(x, t) est continue et intégrable sur R
∗
+ . Pour tout t > 0,
x → h(x, t) est continue sur R. La difficulté vient de la domination. Si on
majore | sin xt| par 1, on obtient un majorant
1
e t − 1
∼
t→0
1
t
non intégrable sur
]0, 1]. On utilise la majoration | sin u| |u| qui donne |h(x, t)| |x|
t
e t − 1
pour (x, t) ∈ R × R
∗
+ . Mais ce majorant dépend de x. Soit A > 0. Pour tout
x ∈ [−A, A] et t > 0, on a |h(x, t)| A
t
e t − 1
. La fonction w : t → A
t
e t − 1
est intégrable sur R
∗
+ car w est continue sur R
∗
+ , admet une limite finie A lorsque t
tend vers 0, et est négligeable devant t → 1/t
2 en +∞. Donc f est continue sur
[−A, A] pour tout A > 0, donc f est continue sur R.
3. On définit l’hypothèse de récurrence, pour n ∈ N,
P(n) : f est de classe C
n sur R et,∀x ∈ R, f
(n) (x) =
+∞
0
sin(xt + n
p
2
)
t
n
e t − 1
dt.
Pour tout n ∈ N, on note u n : (x, t) → sin(xt + n
p
2
)
t
n
e t − 1
. La question précédente donne P(0). Soit n ∈ N tel que P(n). Pour tout x ∈ R, t → u n (x, t)
est continue et intégrable sur R
∗
+ (d’après l’hypothèse de récurrence), pour tout
t > 0, x → u n (x, t) est de classe C
1 sur R avec
∂u n
∂x
= u n+1 . Enfin, pour x ∈ R et
t > 0, |u n+1 (x, t)|
t
n+1
e t − 1
= c n (t). La fonction c n est continue sur R
∗
+ , admet
une limite finie en 0 (0 en général, 1 si n = 0), et c n (t) = o
t→+∞
1
t 2
. Donc c n
est intégrable sur R
∗
+ , et le théorème de dérivation montre que f
(n) est de classe
C
1 sur R avec la dérivée souhaitée. Par récurrence, P(n) est vérifiée pour tout
n ∈ N, et f est de classe C
∞ sur R.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4. Montrer que pour tout x réel, on a F(x) =
+∞
n=1
x
x 2 + n 2 .
5. Donner le développement en série entière de F autour de 0.
On note h(x, t) =
sin(xt)
e t − 1
pour x ∈ R et t ∈ R
∗
+ .
1. Soit x ∈ R. La fonction g x : t → h(x, t) est définie et continue sur R
∗
+ . Puisque
g(t) ∼
t→0
xt
t
= x, on peut prolonger g x par continuité en 0 et g x est intégrable sur
]0, 1]. De plus g x (t) = O
t→+∞
(e
−t ) et g x est intégrable sur [1, +∞[. Finalement, la
fonction g x est continue et intégrable sur R
∗
+ pour tout x ∈ R. Donc f est définie
sur R, et on montre facilement que f est impaire.
2. Pour tout x ∈ R, t → h(x, t) est continue et intégrable sur R
∗
+ . Pour tout t > 0,
x → h(x, t) est continue sur R. La difficulté vient de la domination. Si on
majore | sin xt| par 1, on obtient un majorant
1
e t − 1
∼
t→0
1
t
non intégrable sur
]0, 1]. On utilise la majoration | sin u| |u| qui donne |h(x, t)| |x|
t
e t − 1
pour (x, t) ∈ R × R
∗
+ . Mais ce majorant dépend de x. Soit A > 0. Pour tout
x ∈ [−A, A] et t > 0, on a |h(x, t)| A
t
e t − 1
. La fonction w : t → A
t
e t − 1
est intégrable sur R
∗
+ car w est continue sur R
∗
+ , admet une limite finie A lorsque t
tend vers 0, et est négligeable devant t → 1/t
2 en +∞. Donc f est continue sur
[−A, A] pour tout A > 0, donc f est continue sur R.
3. On définit l’hypothèse de récurrence, pour n ∈ N,
P(n) : f est de classe C
n sur R et,∀x ∈ R, f
(n) (x) =
+∞
0
sin(xt + n
p
2
)
t
n
e t − 1
dt.
Pour tout n ∈ N, on note u n : (x, t) → sin(xt + n
p
2
)
t
n
e t − 1
. La question précédente donne P(0). Soit n ∈ N tel que P(n). Pour tout x ∈ R, t → u n (x, t)
est continue et intégrable sur R
∗
+ (d’après l’hypothèse de récurrence), pour tout
t > 0, x → u n (x, t) est de classe C
1 sur R avec
∂u n
∂x
= u n+1 . Enfin, pour x ∈ R et
t > 0, |u n+1 (x, t)|
t
n+1
e t − 1
= c n (t). La fonction c n est continue sur R
∗
+ , admet
une limite finie en 0 (0 en général, 1 si n = 0), et c n (t) = o
t→+∞
1
t 2
. Donc c n
est intégrable sur R
∗
+ , et le théorème de dérivation montre que f
(n) est de classe
C
1 sur R avec la dérivée souhaitée. Par récurrence, P(n) est vérifiée pour tout
n ∈ N, et f est de classe C
∞ sur R.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit