248 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
R
∗
+ et, si x > 0, f
(x) =
2
x
g
(x) −
2
x 2 g(x). Pour x 0, on a
g
(x) =
+∞
0
(t
2 + 1 − 1) cos(xt)
(1 + t 2 ) 2
dt = f (x) −
+∞
0
cos(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt = f (x) − k(x).
On montre comme précédemment que k est dérivable sur R
∗
+ avec, pour tout
x > 0, k
(x) = −
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt = −g(x). Alors g
est de classe C
1 sur
R
∗
+ avec g
(x) = f
(x) − k
(x) = f
(x) + g(x). Pour x > 0, on obtient
f
(x) =
2
x
g
(x) −
4
x 2 g
(x) +
4
x 3 g(x) =
2
x
f
(x) + g(x) −
2
x
g
(x) +
2
x 2 g(x)
et avec l’écriture précédente pour f
(x), il vient f
(x) =
2
x
g(x) = f (x) si x > 0.
4. La fonction f est solution sur R
∗
+ de l’équation différentielle y
= y. Il existe
donc des réels A et B tels que, pour tout x > 0, f (x) = Ae
x + Be
−x . La fonction f est bornée sur R
+ , on en déduit que A = 0. Par continuité de f en 0,
on a B = lim
x→0
f (x) = f (0) =
+∞
0
dt
1 + t 2 =
p
2
. Ainsi, pour tout x 0,
f (x) =
p
2
e
−x , et par parité, pour tout x ∈ R, f (x) =
p
2
e
−|x| . Cette écriture de
f montre que f n’est pas dérivable en 0 puisque les dérivées à droite et à gauche
en 0 sont différentes (et opposées).
5. La fonction t →
cos t
x 2 + t 2 est intégrable sur R
+ lorsque x = 0. On peut alors
effectuer le changement de variable linéaire t = ux (toujours si x = 0) pour se
ramener à une intégrale proche de celle définissant f . Ainsi, si x > 0,
+∞
0
cos t
x 2 + t 2 dt =
+∞
0
cos(ux)
x 2 (1 + u 2 )
x du =
1
x
f (x) =
pe
−x
2x
Par parité, on a
+∞
0
cos t
x 2 + t 2 dt =
pe
−|x|
2|x|
pour x ∈ R
∗ .
Exercice 10.11
Mines-Ponts PC 2005 (et plus) K
On définit, lorsque c’est possible, F(x) =
+∞
0
sin(xt)
e t − 1
dt.
1. Déterminer le domaine de définition de F.
2. F est-elle continue ?
3. Sur quel intervalle F est-elle C
∞ ?
R
∗
+ et, si x > 0, f
(x) =
2
x
g
(x) −
2
x 2 g(x). Pour x 0, on a
g
(x) =
+∞
0
(t
2 + 1 − 1) cos(xt)
(1 + t 2 ) 2
dt = f (x) −
+∞
0
cos(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt = f (x) − k(x).
On montre comme précédemment que k est dérivable sur R
∗
+ avec, pour tout
x > 0, k
(x) = −
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt = −g(x). Alors g
est de classe C
1 sur
R
∗
+ avec g
(x) = f
(x) − k
(x) = f
(x) + g(x). Pour x > 0, on obtient
f
(x) =
2
x
g
(x) −
4
x 2 g
(x) +
4
x 3 g(x) =
2
x
f
(x) + g(x) −
2
x
g
(x) +
2
x 2 g(x)
et avec l’écriture précédente pour f
(x), il vient f
(x) =
2
x
g(x) = f (x) si x > 0.
4. La fonction f est solution sur R
∗
+ de l’équation différentielle y
= y. Il existe
donc des réels A et B tels que, pour tout x > 0, f (x) = Ae
x + Be
−x . La fonction f est bornée sur R
+ , on en déduit que A = 0. Par continuité de f en 0,
on a B = lim
x→0
f (x) = f (0) =
+∞
0
dt
1 + t 2 =
p
2
. Ainsi, pour tout x 0,
f (x) =
p
2
e
−x , et par parité, pour tout x ∈ R, f (x) =
p
2
e
−|x| . Cette écriture de
f montre que f n’est pas dérivable en 0 puisque les dérivées à droite et à gauche
en 0 sont différentes (et opposées).
5. La fonction t →
cos t
x 2 + t 2 est intégrable sur R
+ lorsque x = 0. On peut alors
effectuer le changement de variable linéaire t = ux (toujours si x = 0) pour se
ramener à une intégrale proche de celle définissant f . Ainsi, si x > 0,
+∞
0
cos t
x 2 + t 2 dt =
+∞
0
cos(ux)
x 2 (1 + u 2 )
x du =
1
x
f (x) =
pe
−x
2x
Par parité, on a
+∞
0
cos t
x 2 + t 2 dt =
pe
−|x|
2|x|
pour x ∈ R
∗ .
Exercice 10.11
Mines-Ponts PC 2005 (et plus) K
On définit, lorsque c’est possible, F(x) =
+∞
0
sin(xt)
e t − 1
dt.
1. Déterminer le domaine de définition de F.
2. F est-elle continue ?
3. Sur quel intervalle F est-elle C
∞ ?