10.3 Exercices d’approfondissement 247
3. Montrer que f est de classe C
1 sur R
∗
+ , puis de classe C
2 sur R
∗
+ et que
f
= f .
4. En déduire une expression simple pour f .
5. Simplifier
+∞
0
cos t
x 2 + t 2 dt.
1. Soit h(x, t) =
cos(xt)
1 + t 2 pour (x, t) ∈ R × R
+ . La fonction h est continue
sur R × R
+ (on a par conséquent la continuité partielle par rapport à chaque
variable) et, pour tout (x, t) ∈ R × R
+ , |h(x, t)|
1
1 + t 2 . Puisque t →
1
1 + t 2
est continue et intégrable sur R
+ , f est définie et continue sur R. On obtient
facilement h(−x) = h(x) pour tout x ∈ R, f est donc paire, ainsi que
| f (x)|
+∞
0
| cos(xt)|
1 + t 2 dt
+∞
0
dt
1 + t 2 =
p
2
. La fonction f est bornée
sur R.
2. Soit x > 0 et A > 0. On a x
A
0
cos(xt)
1 + t 2 dt =
sin(xt)
1 + t 2
A
0
+2
A
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt, car
t → sin(xt) et t →
1
1 + t 2 sont de classe C
1 sur [0, 1]. Puisque lim
A→+∞
sin(x A)
1 + A 2 = 0,
on obtient en faisant tendre A vers +∞, x f (x) = 2
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt.
3. On pense bien entendu à appliquer le théorème de dérivabilité. Cependant,
il n’aboutira pas si on cherche à l’appliquer sur
+∞
0
cos(xt)
1 + t 2 dt. En effet
∂h
∂x
(x, t)
=
t
1 + t 2 | sin(xt)| ∼
t→+∞
| sin(xt)|
t
et on peut montrer que t →
sin(xt)
t
n’est pas intégrable sur R
∗
+ . Le théorème n’a donc aucune chance de s’appliquer
ici. On va l’appliquer à la nouvelle intégrale obtenue dans la question précédente.
Soit A = R
+
× R
+ . On définit g pour x positif par g(x) =
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt
et, pour (x, t) ∈ A, h 2 (x, t) =
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 . La fonction h 2 est de classe C
1 sur
A. Pour tout (x, t) ∈ A, |h 2 (x, t)|
t
(1 + t 2 ) 2 , ainsi, pour tout x ∈ R
+ , la
fonction t → h 2 (x, t) et intégrable sur R
+ . De plus, pour tout (x, t) ∈ A, on a
∂h 2
∂x
(x, t)
=
t
2 cos(xt)
(1 + t 2 ) 2
t
2
(1 + t 2 ) 2 . Le théorème de dérivation montre que
g est de classe C
1 sur R
+ avec, pour tout x ∈ R
+ , g
(x) =
+∞
0
t
2 cos(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt.
Puisque, pour tout x > 0, on a f (x) =
2
x
g(x), la fonction f est de classe C
1 sur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3. Montrer que f est de classe C
1 sur R
∗
+ , puis de classe C
2 sur R
∗
+ et que
f
= f .
4. En déduire une expression simple pour f .
5. Simplifier
+∞
0
cos t
x 2 + t 2 dt.
1. Soit h(x, t) =
cos(xt)
1 + t 2 pour (x, t) ∈ R × R
+ . La fonction h est continue
sur R × R
+ (on a par conséquent la continuité partielle par rapport à chaque
variable) et, pour tout (x, t) ∈ R × R
+ , |h(x, t)|
1
1 + t 2 . Puisque t →
1
1 + t 2
est continue et intégrable sur R
+ , f est définie et continue sur R. On obtient
facilement h(−x) = h(x) pour tout x ∈ R, f est donc paire, ainsi que
| f (x)|
+∞
0
| cos(xt)|
1 + t 2 dt
+∞
0
dt
1 + t 2 =
p
2
. La fonction f est bornée
sur R.
2. Soit x > 0 et A > 0. On a x
A
0
cos(xt)
1 + t 2 dt =
sin(xt)
1 + t 2
A
0
+2
A
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt, car
t → sin(xt) et t →
1
1 + t 2 sont de classe C
1 sur [0, 1]. Puisque lim
A→+∞
sin(x A)
1 + A 2 = 0,
on obtient en faisant tendre A vers +∞, x f (x) = 2
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt.
3. On pense bien entendu à appliquer le théorème de dérivabilité. Cependant,
il n’aboutira pas si on cherche à l’appliquer sur
+∞
0
cos(xt)
1 + t 2 dt. En effet
∂h
∂x
(x, t)
=
t
1 + t 2 | sin(xt)| ∼
t→+∞
| sin(xt)|
t
et on peut montrer que t →
sin(xt)
t
n’est pas intégrable sur R
∗
+ . Le théorème n’a donc aucune chance de s’appliquer
ici. On va l’appliquer à la nouvelle intégrale obtenue dans la question précédente.
Soit A = R
+
× R
+ . On définit g pour x positif par g(x) =
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt
et, pour (x, t) ∈ A, h 2 (x, t) =
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 . La fonction h 2 est de classe C
1 sur
A. Pour tout (x, t) ∈ A, |h 2 (x, t)|
t
(1 + t 2 ) 2 , ainsi, pour tout x ∈ R
+ , la
fonction t → h 2 (x, t) et intégrable sur R
+ . De plus, pour tout (x, t) ∈ A, on a
∂h 2
∂x
(x, t)
=
t
2 cos(xt)
(1 + t 2 ) 2
t
2
(1 + t 2 ) 2 . Le théorème de dérivation montre que
g est de classe C
1 sur R
+ avec, pour tout x ∈ R
+ , g
(x) =
+∞
0
t
2 cos(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt.
Puisque, pour tout x > 0, on a f (x) =
2
x
g(x), la fonction f est de classe C
1 sur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit