246 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
5. Soit x > 0. On se donne A > ´ > 0. On a
A
´
t
x e
−t dt =
t
x e
−t
A
´
+ x
A
´
t
x−1 e
−t dt.
Puisque x > 0, ´
x e
−´ tend vers 0 lorsque ´ tend vers 0 et A
x e
−A vers 0 en +∞.
On obtient, lorsque ´ tend vers 0 et A vers +∞, G(x + 1) = xG(x).
6. G(1) =
+∞
0
e
−t dt = 1 et G(n + 1) = n! se montre par récurrence, à l’aide de la
relation de la question précédente.
7. Pour x > 0, on a G(x) =
G(x + 1)
x
. Puisque G est continue sur R
∗
+ et que G(1) = 0,
on a G(1 + x) ∼
x→0
G(1) = 1. Donc G(x) ∼
x→0
1
x
.
8. La fonction G étant convexe, elle admet une limite en +∞. Or G(n + 1) = n! pour
n entier. Donc lim
x→+∞
G(x) = +∞. Pour x > 1,
G(x)
x
=
x − 1
x
G(x − 1), de limite
+∞ lorsque x tend vers +∞. Donc lim
x→+∞
G(x)
x
= +∞.
9.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
10.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 10.10
ENSAM PSI 2006 K
On note f (x) =
+∞
0
cos(xt)
1 + t 2 dt.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f , étudier sa continuité, sa parité et
montrer que f est bornée sur son ensemble de définition.
2. Montrer que pour tout x > 0, on a x f (x) = 2
+∞
0
t sin(xt)
(1 + t 2 ) 2 dt.