10
Chap. 1. Suites Numériques
2. Montrer que la suite (u n ) n∈N ∗ converge et a pour limite 0.
3. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que, au voisinage de +∞,
u n =
a
n
+
b
n 6 + o
1
n 6
.
1) Soit n ∈ N
∗ . La fonction f n est dérivable sur [ 0, 1 ] avec f
n (x) = 5x
4 + n > 0
et par conséquent f n est strictement croissante sur [ 0, 1 ] . Ainsi f n est une bijection
de l’intervalle [ 0, 1 ] sur son image f n ( [ 0, 1 ] ) = [ f n (0), f n (1) ] = [ −1, n ] .
Puisque 0 ∈ f n ( ] 0, 1 [ ), il existe alors u n ∈ ] 0, 1 [ unique tel que f n (u n ) = 0
c’est-à-dire (∗) u
5
n + nu n − 1 = 0.
2) • Soit n ∈ N
∗ , on a
f n+1 (u n ) = u
5
n + (n + 1)u n − 1 = u
5
n + nu n − 1 + u n = u n > 0 = f n+1 (u n+1 ).
La croissance de la fonction f n+1 entraîne que u n+1 u n .
La suite (u n ) n∈N ∗ est donc décroissante.
• Minorée par 0 et décroissante, la suite (u n ) n∈N ∗ converge et sa limite ∈ [ 0, 1 ] .
On a lim
n−→+∞
(1 − u
5
n ) = 1 −
5 . Or pour tout n dans N
∗ , on a u n =
1
n
(1 − u
5
n ). On en
déduit lim
n−→+∞
u n = 0.
3) On déduit de la relation (*) que la suite (nu n ) converge et que
lim
n−→+∞
nu n = lim
n−→+∞
(1 − u
5
n ) = 1,
d’où u n ∼
n→+∞
1
n
. En outre, nu n − 1 = −u
5
n
∼
n→+∞
−1
n 5 d’où nu n = 1 −
1
n 5 + o
1
n 5
et finalement u n =
1
n
−
1
n 6 + o
1
n 6
.
Exercice 1.12
Centrale PC 2006
1) Montrer, si n ∈ N
∗ , que l’équation x
n + x
2 = 1 admet une unique solution
réelle positive que l’on notera x n .
2) Donner une valeur approchée de x n pour différentes valeurs de n avec Maple.
3) Montrer que la suite (x n ) converge et déterminer sa limite .
4) Montrer que − x n est équivalent à une expression de la forme ln
a n/n
b .
1) Soit n ∈ N
∗ . La fonction f n , définie sur [ 0, +∞ [ par f n (x) = x
n + x
2
− 1, est
continue et strictement croissante sur [ 0, +∞ [ . C’est une bijection de [ 0, +∞ [ sur
l’intervalle [ f n (0), lim
x→+∞
f n (x) [ = [ −1, +∞ [ . Il existe donc une valeur unique x n
dans [ 0, +∞ [ telle que f n (x n ) = 0.
On peut remarquer, puisque f n (1) = 1, que l’on a en fait 0 < x n < 1 .
Chap. 1. Suites Numériques
2. Montrer que la suite (u n ) n∈N ∗ converge et a pour limite 0.
3. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que, au voisinage de +∞,
u n =
a
n
+
b
n 6 + o
1
n 6
.
1) Soit n ∈ N
∗ . La fonction f n est dérivable sur [ 0, 1 ] avec f
n (x) = 5x
4 + n > 0
et par conséquent f n est strictement croissante sur [ 0, 1 ] . Ainsi f n est une bijection
de l’intervalle [ 0, 1 ] sur son image f n ( [ 0, 1 ] ) = [ f n (0), f n (1) ] = [ −1, n ] .
Puisque 0 ∈ f n ( ] 0, 1 [ ), il existe alors u n ∈ ] 0, 1 [ unique tel que f n (u n ) = 0
c’est-à-dire (∗) u
5
n + nu n − 1 = 0.
2) • Soit n ∈ N
∗ , on a
f n+1 (u n ) = u
5
n + (n + 1)u n − 1 = u
5
n + nu n − 1 + u n = u n > 0 = f n+1 (u n+1 ).
La croissance de la fonction f n+1 entraîne que u n+1 u n .
La suite (u n ) n∈N ∗ est donc décroissante.
• Minorée par 0 et décroissante, la suite (u n ) n∈N ∗ converge et sa limite ∈ [ 0, 1 ] .
On a lim
n−→+∞
(1 − u
5
n ) = 1 −
5 . Or pour tout n dans N
∗ , on a u n =
1
n
(1 − u
5
n ). On en
déduit lim
n−→+∞
u n = 0.
3) On déduit de la relation (*) que la suite (nu n ) converge et que
lim
n−→+∞
nu n = lim
n−→+∞
(1 − u
5
n ) = 1,
d’où u n ∼
n→+∞
1
n
. En outre, nu n − 1 = −u
5
n
∼
n→+∞
−1
n 5 d’où nu n = 1 −
1
n 5 + o
1
n 5
et finalement u n =
1
n
−
1
n 6 + o
1
n 6
.
Exercice 1.12
Centrale PC 2006
1) Montrer, si n ∈ N
∗ , que l’équation x
n + x
2 = 1 admet une unique solution
réelle positive que l’on notera x n .
2) Donner une valeur approchée de x n pour différentes valeurs de n avec Maple.
3) Montrer que la suite (x n ) converge et déterminer sa limite .
4) Montrer que − x n est équivalent à une expression de la forme ln
a n/n
b .
1) Soit n ∈ N
∗ . La fonction f n , définie sur [ 0, +∞ [ par f n (x) = x
n + x
2
− 1, est
continue et strictement croissante sur [ 0, +∞ [ . C’est une bijection de [ 0, +∞ [ sur
l’intervalle [ f n (0), lim
x→+∞
f n (x) [ = [ −1, +∞ [ . Il existe donc une valeur unique x n
dans [ 0, +∞ [ telle que f n (x n ) = 0.
On peut remarquer, puisque f n (1) = 1, que l’on a en fait 0 < x n < 1 .