Chap. 1. Suites Numériques
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donc son minimum en r n . Déterminons le signe de f 2n+2 (r n ). Puisque r n est racine de
f 2n+1 , on a
f 2n+2 (r n ) = f 2n+1 (r n ) +
r
2n+2
n
(2n + 2)!
=
r
2n+2
n
(2n + 2)!
0 .
Par ailleurs, f 2n+1 (0) = 1, le nombre réel r n n’est donc pas nul, et par conséquent,
f 2n+2 (r n ) > 0. Ainsi, f 2n+2 > 0.
• Montrons que f 2n+3 admet une et une seule racine réelle et que cette racine est
simple.
Comme f
2n+3 = f 2n+2 > 0, la fonction f 2n+3 est strictement croissante sur R. En
outre, elle est continue sur R et varie de −∞ à +∞, il existe donc un réel unique r n+1
tel que f 2n+3 (r n+1 ) = 0. Cette racine n’est pas une racine multiple de f 2n+3 , sinon elle
serait aussi racine de la dérivée f
2n+3 = f 2n+2 .
La propriété est donc vraie au rang n + 1. Le principe de récurrence assure qu’elle est
vraie pour tout entier n.
3) • Montrons que −(2n + 3) < r n < 0. La fonction f 2n+1 étant strictement
croissante sur R, pour montrer que −2n − 3 < r n < 0, il suffit d’établir
que f 2n+1 (−(2n + 3)) < 0 = f 2n+1 (r n ) < f 2n+1 (0). Comme f 2n+1 (0) = 1,
on a immédiatement r n < 0. D’autre part, en écrivant f 2n+1 (x) sous la forme
n
k=0
x
2k
(2k)!
+
x
2k+1
(2k + 1)!
, on obtient
f 2n+1
− (2n + 3)
= −2
n
k=0
(2n + 3)
2k
(2k + 1)!
(n + 1 − k) < 0
• Montrons que la suite (r n ) n0 est décroissante. Soit n ∈ N
f 2n+3 (r n ) = f 2n+1 (r n ) +
r
2n+2
n
(2n + 2)!
+
r
2n+3
n
(2n + 3)!
= 0 +
r
2n+2
n
(2n + 3)!
(2n + 3 + r n ) > 0 = f 2n+3 (r n+1 ).
Puisque f 2n+3 est strictement croissante sur R, on a alors r n r n+1 .
• Montrons enfin que (r n ) tend vers −∞.
Si ce n’était pas le cas, étant décroissante, elle aurait une limite finie a < 0. Comme
f 2n+1 est croissante, on aurait ∀n, f 2n+1 (a) f 2n+1 (r n ) = 0. Or lim
n→∞
f 2n+1 (a) = e
a ,
d’où par passage à la limite dans l’inégalité précédente, e
a
0 : contradiction.
Exercice 1.11
CCP PSI 2005
Soit n ∈ N
∗ et soit la fonction f n définie sur R par f n (x) = x
5 + nx − 1.
1. Montrer que sur ] 0, 1 [ l’équation f n (x) = 0 admet une unique solution que
l’on notera u n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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donc son minimum en r n . Déterminons le signe de f 2n+2 (r n ). Puisque r n est racine de
f 2n+1 , on a
f 2n+2 (r n ) = f 2n+1 (r n ) +
r
2n+2
n
(2n + 2)!
=
r
2n+2
n
(2n + 2)!
0 .
Par ailleurs, f 2n+1 (0) = 1, le nombre réel r n n’est donc pas nul, et par conséquent,
f 2n+2 (r n ) > 0. Ainsi, f 2n+2 > 0.
• Montrons que f 2n+3 admet une et une seule racine réelle et que cette racine est
simple.
Comme f
2n+3 = f 2n+2 > 0, la fonction f 2n+3 est strictement croissante sur R. En
outre, elle est continue sur R et varie de −∞ à +∞, il existe donc un réel unique r n+1
tel que f 2n+3 (r n+1 ) = 0. Cette racine n’est pas une racine multiple de f 2n+3 , sinon elle
serait aussi racine de la dérivée f
2n+3 = f 2n+2 .
La propriété est donc vraie au rang n + 1. Le principe de récurrence assure qu’elle est
vraie pour tout entier n.
3) • Montrons que −(2n + 3) < r n < 0. La fonction f 2n+1 étant strictement
croissante sur R, pour montrer que −2n − 3 < r n < 0, il suffit d’établir
que f 2n+1 (−(2n + 3)) < 0 = f 2n+1 (r n ) < f 2n+1 (0). Comme f 2n+1 (0) = 1,
on a immédiatement r n < 0. D’autre part, en écrivant f 2n+1 (x) sous la forme
n
k=0
x
2k
(2k)!
+
x
2k+1
(2k + 1)!
, on obtient
f 2n+1
− (2n + 3)
= −2
n
k=0
(2n + 3)
2k
(2k + 1)!
(n + 1 − k) < 0
• Montrons que la suite (r n ) n0 est décroissante. Soit n ∈ N
f 2n+3 (r n ) = f 2n+1 (r n ) +
r
2n+2
n
(2n + 2)!
+
r
2n+3
n
(2n + 3)!
= 0 +
r
2n+2
n
(2n + 3)!
(2n + 3 + r n ) > 0 = f 2n+3 (r n+1 ).
Puisque f 2n+3 est strictement croissante sur R, on a alors r n r n+1 .
• Montrons enfin que (r n ) tend vers −∞.
Si ce n’était pas le cas, étant décroissante, elle aurait une limite finie a < 0. Comme
f 2n+1 est croissante, on aurait ∀n, f 2n+1 (a) f 2n+1 (r n ) = 0. Or lim
n→∞
f 2n+1 (a) = e
a ,
d’où par passage à la limite dans l’inégalité précédente, e
a
0 : contradiction.
Exercice 1.11
CCP PSI 2005
Soit n ∈ N
∗ et soit la fonction f n définie sur R par f n (x) = x
5 + nx − 1.
1. Montrer que sur ] 0, 1 [ l’équation f n (x) = 0 admet une unique solution que
l’on notera u n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit