8
Chap. 1. Suites Numériques
Une récurrence immédiate montre que pour tout n ∈ N, on a u n > 0.
1) Soit n 1, on a u n+1 −u n =
−u
2
n u n−1
1 + u n u n−1
< 0 . Donc la suite (u n ) est décroissante.
Comme elle est minorée par 0, elle converge vers une limite 0 . En passant à la
limite dans la relation (∗) on obtient =
1 + 2 , d’où = 0.
2) Le théorème de de Cesàro a été introduit comme exercice dans le livre d’Analyse
de première année voir exercice 10.14 pages 162 et 163.
Soit n 1, on a
1
u 2
n+1
=
1 + 2u n u n−1 + u
2
n u
2
n−1
u 2
n
, d’où
1
u 2
n+1
−
1
u 2
n
= 2
u n−1
u n
+ u
2
n−1 ,
Par ailleurs,
u n+1
u n
=
1
1 + u n u n−1
. Il en résulte que la suite (u n+1 /u n ) converge vers
1 (on a en particulier u n+1 ∼
n→∞
u n ) et la suite
1
u 2
n+1
−
1
u 2
n
converge vers 2. En
appliquant le théorème de Cesàro, on a
lim
n→+∞
1
n
n−1
k=0
1
u 2
k+1
−
1
u 2
k
= lim
n→+∞
1
n
1
u 2
n
−
1
u 2
0
= 2 .
On en déduit lim
n→+∞
1
nu 2
n
= 2 , d’où u
2
n ∼
n→∞
1
2n
et donc u n ∼
n→∞
1
√
2n
.
Exercice 1.10
Centrale PSI 2005, CCP MP 2006
Soit n ∈ N, on considère la fonction f n définie sur R par f n (x) =
n
k=0
x
k
k!
1) Déterminer le nombre des racines réelles de f n pour n = 0, 1, 2.
2) Soit n ∈ N. Montrer que f 2n n’admet pas de racine réelle et que f 2n+1 admet
une unique racine réelle qu’on note r n .
3) Montrer que, pour tout n ∈ N, on a −(2n + 3) < r n < 0. En déduire que la
suite (r n ) décroit vers −∞.
1) Il est clair que les fonctions f 0 : x → f 0 (x) = 1, f 2 : x → f 2 (x) = 1 + x +
x
2
2!
n’ont pas de racine réelle et f 1 : x → f 1 (x) = 1 + x a pour unique racine réelle −1.
2) Montrons par récurrence la propriété P n suivante : f 2n n’ a pas de racine réelle,
f 2n+1 a une unique racine réelle qui est simple. On a montré dans la question précédente que la propriété P 0 est vraie.
Soit n ∈ N. Supposons que la propriété P n est vraie et montrons que la propriété
P n+1 est vraie.
• Montrons que f 2n+2 > 0.
On a f
2n+2 = f 2n+1 . L’hypothèse de récurrence entraîne alors que la fonction f 2n+2
décroît sur l’intervalle ] −∞, r n ] et croît sur [ r n , +∞ [ . La fonction f 2n+2 atteint
Chap. 1. Suites Numériques
Une récurrence immédiate montre que pour tout n ∈ N, on a u n > 0.
1) Soit n 1, on a u n+1 −u n =
−u
2
n u n−1
1 + u n u n−1
< 0 . Donc la suite (u n ) est décroissante.
Comme elle est minorée par 0, elle converge vers une limite 0 . En passant à la
limite dans la relation (∗) on obtient =
1 + 2 , d’où = 0.
2) Le théorème de de Cesàro a été introduit comme exercice dans le livre d’Analyse
de première année voir exercice 10.14 pages 162 et 163.
Soit n 1, on a
1
u 2
n+1
=
1 + 2u n u n−1 + u
2
n u
2
n−1
u 2
n
, d’où
1
u 2
n+1
−
1
u 2
n
= 2
u n−1
u n
+ u
2
n−1 ,
Par ailleurs,
u n+1
u n
=
1
1 + u n u n−1
. Il en résulte que la suite (u n+1 /u n ) converge vers
1 (on a en particulier u n+1 ∼
n→∞
u n ) et la suite
1
u 2
n+1
−
1
u 2
n
converge vers 2. En
appliquant le théorème de Cesàro, on a
lim
n→+∞
1
n
n−1
k=0
1
u 2
k+1
−
1
u 2
k
= lim
n→+∞
1
n
1
u 2
n
−
1
u 2
0
= 2 .
On en déduit lim
n→+∞
1
nu 2
n
= 2 , d’où u
2
n ∼
n→∞
1
2n
et donc u n ∼
n→∞
1
√
2n
.
Exercice 1.10
Centrale PSI 2005, CCP MP 2006
Soit n ∈ N, on considère la fonction f n définie sur R par f n (x) =
n
k=0
x
k
k!
1) Déterminer le nombre des racines réelles de f n pour n = 0, 1, 2.
2) Soit n ∈ N. Montrer que f 2n n’admet pas de racine réelle et que f 2n+1 admet
une unique racine réelle qu’on note r n .
3) Montrer que, pour tout n ∈ N, on a −(2n + 3) < r n < 0. En déduire que la
suite (r n ) décroit vers −∞.
1) Il est clair que les fonctions f 0 : x → f 0 (x) = 1, f 2 : x → f 2 (x) = 1 + x +
x
2
2!
n’ont pas de racine réelle et f 1 : x → f 1 (x) = 1 + x a pour unique racine réelle −1.
2) Montrons par récurrence la propriété P n suivante : f 2n n’ a pas de racine réelle,
f 2n+1 a une unique racine réelle qui est simple. On a montré dans la question précédente que la propriété P 0 est vraie.
Soit n ∈ N. Supposons que la propriété P n est vraie et montrons que la propriété
P n+1 est vraie.
• Montrons que f 2n+2 > 0.
On a f
2n+2 = f 2n+1 . L’hypothèse de récurrence entraîne alors que la fonction f 2n+2
décroît sur l’intervalle ] −∞, r n ] et croît sur [ r n , +∞ [ . La fonction f 2n+2 atteint