Chap. 1. Suites Numériques
7
L’exercice suivant est un classique qu’on trouve chaque année dans plusieurs
concours.
Exercice 1.8
Centrale MP 2006, Polytechnique PC 2005 et MP 2007 K
Montrer que la suite complexe (u n ) n∈N , définie par u 0 ∈ C
∗ et u n+1 =
1
2
(u n +|u n |),
converge et trouver sa limite suivant u 0 .
On pose pour tout z ∈ C, f (z) =
1
2
(z+|z|). Pour tout n ∈ N, on a alors u n+1 = f (u n ).
• Si u 0 ∈ R
− , alors pour tout n 1, u n = 0 .
• Si u 0 ∈ R
+ , alors pour tout n, u n = u 0 .
• Si u 0 ∈ C \ R : on remarque d’abord que pour tout z ∈ C \ R, il existe
(r , u) ∈ R
∗
+ × ] −p, p [ \{0} tel que z = re
iu . On a alors
f (z) =
1
2
re
iu + r
=
r
2
e
iu + 1
=
r
2
e
i
u
2
e
i
u
2 + e
−i
u
2
=
r
2
e
i
u
2 ·2 cos
u
2
= r cos
u
2
·e
i
u
2 .
En écrivant u n sous la forme u n = r n e
iu n , on obtient u n+1 = r n+1 e
iu n+1 avec
r n+1 = r n cos
u n
2
et u n+1 =
u n
2
.
Ainsi, si on pose u 0 = re
iu avec r > 0 et u ∈ ] −p, p [ \{0}, on vérifie par
récurrence que, pour tout n ∈ N
∗ , u n =
u
2 n et r n = r
n
k=1
cos
u
2 k . On en déduit que
r n = r
n
k=1
2 sin
u
2 k ·cos
u
2 k
2 sin
u
2 k
= r
n
k=1
sin
u
2 k−1
2 sin
u
2 k
= r
sin u
2 n sin
u
2 n
.
D’où u n = r
sin u
2 n sin
u
2 n
·e
i
u
2 n . Sachant que sin x ∼
x→0
x, on a 2
n sin
u
2 n ∼
n→∞
2
n
·
u
2 n = u
et par conséquent lim
n−→+∞
u n = r
sin u
u
.
Exercice 1.9
Extrait de Centrale PC 2006
Soit (u n ) n0 la suite définie par u 0 > 0, u 1 > 0 et
(∗)
∀n ∈ N
∗ , u n+1 =
u n
1 + u n u n−1
.
1) Montrer que la suite (u n ) n0 converge et trouver sa limite.
2) En considérant 1/u
2
n , trouver un équivalent de u n .
Indication de l’examinateur : Appliquer le théorème de Cesàro.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit