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Chap. 1. Suites Numériques
–4
–2
0
2
4
–3
–2
–1
1
2
3
x
Si x = 0, on a f (x) − x = x(ln |x| − 1) , d’où
{x ∈ R
∗
| f (x) − x > 0} = ] −e, 0 [ ∪ ] e, +∞ [ .
De plus f − Id s’annule en e et −e et se prolonge en 0 par la valeur 0. Les nombres
e, −e et 0 sont donc les trois points fixes de f .
On a aussi f (x) + x = x(ln |x| + 1) , d’où
{x ∈ R
∗
| f (x) + x > 0} = ] −1/e, 0 [ ∪ ] 1/e, +∞ [ .
De plus f + Id s’annule en −1/e, 1/e et se prolonge en 0 par la valeur 0.
2) L’intervalle I = [ e, +∞ [ est stable par f et contient U 0 . Sur l’intervalle I , la
fonction f vérifie f (x) > x, il en résulte que la suite (U n ) est croissante. Si elle
admettait une limite finie ce serait un point fixe de f dans l’intervalle [ U 0 , +∞ [ , ce
qui n’est pas possible. Donc la suite (U n ) admet +∞ pour limite.
3) Si x > 0, on a f ◦ f (x)−x = f (x ln x)−x = x ln x ln |x ln x|−x = x ln xg(ln x) ,
où l’on a posé g(u) = u + ln |u| − 1/u .
La fonction g est croissante sur ] −∞, 0 [ ∪ ] 0, +∞ [ et s’annule en −1 et en 1.
Il en résulte que {u ∈ R | g(u) > 0} = ] −1, 0 [ ∪ ] 1, +∞ [ ,
puis que {x > 0 | g(ln x) > 0} = ] 1/e, 1 [ ∪ ] e, +∞ [
et finalement que {x > 0 | f ◦ f (x) − x > 0} = ] 0, 1/e [ ∪ ] e, +∞ [ .
Enfin, puisque f ◦ f − Id est impaire,
{x ∈ R | f ◦ f (x) − x > 0} = ] −e, −1/e [ ∪ ] 0, 1/e [ ∪ ] e, +∞ [ .
De plus f ◦ f − Id s’annule en e, −e, 1/e et −1/e et se prolonge en 0 par la valeur 0.
Les nombres e, −e, 1/e, −1/e et 0 sont donc les points fixes de f ◦ f .
4) L’intervalle J = ] 0, 1/e [ est stable par f ◦ f et contient W 0 . Sur cet intervalle
f ◦ f (x) > x. Alors la suite (W 2n ) est une suite croissante majorée de [ W 0 , 1/e ]
et converge vers un point fixe de f ◦ f dans cet intervalle. La limite est donc 1/e.
Mais, puisque, pour tout n ∈ N on a W 2n+1 = f (W 2n ), la suite (W 2n+1 ) converge vers
f (1/e) = −1/e . Il en résulte que la suite (W n ) n’a pas de limite.
Chap. 1. Suites Numériques
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0
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x
Si x = 0, on a f (x) − x = x(ln |x| − 1) , d’où
{x ∈ R
∗
| f (x) − x > 0} = ] −e, 0 [ ∪ ] e, +∞ [ .
De plus f − Id s’annule en e et −e et se prolonge en 0 par la valeur 0. Les nombres
e, −e et 0 sont donc les trois points fixes de f .
On a aussi f (x) + x = x(ln |x| + 1) , d’où
{x ∈ R
∗
| f (x) + x > 0} = ] −1/e, 0 [ ∪ ] 1/e, +∞ [ .
De plus f + Id s’annule en −1/e, 1/e et se prolonge en 0 par la valeur 0.
2) L’intervalle I = [ e, +∞ [ est stable par f et contient U 0 . Sur l’intervalle I , la
fonction f vérifie f (x) > x, il en résulte que la suite (U n ) est croissante. Si elle
admettait une limite finie ce serait un point fixe de f dans l’intervalle [ U 0 , +∞ [ , ce
qui n’est pas possible. Donc la suite (U n ) admet +∞ pour limite.
3) Si x > 0, on a f ◦ f (x)−x = f (x ln x)−x = x ln x ln |x ln x|−x = x ln xg(ln x) ,
où l’on a posé g(u) = u + ln |u| − 1/u .
La fonction g est croissante sur ] −∞, 0 [ ∪ ] 0, +∞ [ et s’annule en −1 et en 1.
Il en résulte que {u ∈ R | g(u) > 0} = ] −1, 0 [ ∪ ] 1, +∞ [ ,
puis que {x > 0 | g(ln x) > 0} = ] 1/e, 1 [ ∪ ] e, +∞ [
et finalement que {x > 0 | f ◦ f (x) − x > 0} = ] 0, 1/e [ ∪ ] e, +∞ [ .
Enfin, puisque f ◦ f − Id est impaire,
{x ∈ R | f ◦ f (x) − x > 0} = ] −e, −1/e [ ∪ ] 0, 1/e [ ∪ ] e, +∞ [ .
De plus f ◦ f − Id s’annule en e, −e, 1/e et −1/e et se prolonge en 0 par la valeur 0.
Les nombres e, −e, 1/e, −1/e et 0 sont donc les points fixes de f ◦ f .
4) L’intervalle J = ] 0, 1/e [ est stable par f ◦ f et contient W 0 . Sur cet intervalle
f ◦ f (x) > x. Alors la suite (W 2n ) est une suite croissante majorée de [ W 0 , 1/e ]
et converge vers un point fixe de f ◦ f dans cet intervalle. La limite est donc 1/e.
Mais, puisque, pour tout n ∈ N on a W 2n+1 = f (W 2n ), la suite (W 2n+1 ) converge vers
f (1/e) = −1/e . Il en résulte que la suite (W n ) n’a pas de limite.