Chap. 1. Suites Numériques
5
1) La fonction f : x → xe
−x est continue sur R, et f (x) est du signe de x. Puisque
e
−x
− 1 est du signe de −x, on a toujours f (x) − x 0. Comme u n+1 = f (u n ) pour
tout n, on en déduit que u n est décroissante, donc a une limite, finie ou −∞. D’autre
part, le seul point fixe de f est 0, donc si u n converge, sa limite est 0.
• Si u 0 < 0, alors par décroissance de (u n ), on a pour tout n, u n u 0 < 0, donc (u n )
ne peut tendre vers 0, et par conséquent, elle a pour limite −∞.
• Si u 0 > 0, comme l’intervalle ] 0, +∞ [ est stable par f , la suite (u n ) est décroissante positive, donc converge, et sa limite est nulle.
• Si u 0 = 0, alors (u n ) est la suite nulle.
2) Cherchons a pour que (u
a
n+1 − u
a
n ) ait une limite finie non nulle. On a
u
a
n+1 − u
a
n = u
a
n (e
−au n − 1) .
Puisque (u n ) converge vers 0, en utilisant l’équivalent e
u
− 1 ∼
u→0
u, on obtient
u
a
n+1 − u
a
n
∼
n→∞
−au
a+1
n
. La suite (au
a+1
n ) admet une limite finie non nulle si et
seulement si a = −1. La suite (v n ) =
1
u n+1
−
1
u n
converge alors vers 1. Par
ailleurs, pour tout n ∈ N
∗ , on a
S n =
1
n
n−1
k=0
v k =
1
n
n−1
k=0
1
u k+1
−
1
u k
=
1
n
1
u n
−
1
u 0
.
Le théorème de Cesàro entraîne que la suite (S n ) converge vers 1. On en déduit que
la suite
1
nu n
converge vers 1, et donc que u n ∼
n→∞
1
n
.
Exercice 1.7
Centrale PSI 2005
Avec Maple : soit la fonction f définie sur R
∗ par f (x) = x ln |x|.
1) Donner l’allure de f , le signe de f (x) − x, le signe de f (x) + x .
2) Etudier la suite définie par U n+1 = f (U n ) avec U 0 = 3 .
3) Donner le signe de f ◦ f (x) − x .
4) Etudier la suite définie par W n+1 = f (W n ) avec W 0 = 1/4 .
1) Remarquons que la fonction f est impaire et se prolonge par la valeur 0 en 0.
La fonction f est dérivable sur R
∗ et l’on a f
(x) = ln |x| + 1 . Sur ] 0, +∞ [ , la
fonction f
est du signe de x − e
−1 . Elle admet donc un minimum local en 1/e et
f (1/e) = −1/e .
Remarquons aussi que f (x)/x tend vers −∞ quand x tend vers 0. La fonction f
n’est pas dérivable en 0 et y admet une tangente verticale.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5
1) La fonction f : x → xe
−x est continue sur R, et f (x) est du signe de x. Puisque
e
−x
− 1 est du signe de −x, on a toujours f (x) − x 0. Comme u n+1 = f (u n ) pour
tout n, on en déduit que u n est décroissante, donc a une limite, finie ou −∞. D’autre
part, le seul point fixe de f est 0, donc si u n converge, sa limite est 0.
• Si u 0 < 0, alors par décroissance de (u n ), on a pour tout n, u n u 0 < 0, donc (u n )
ne peut tendre vers 0, et par conséquent, elle a pour limite −∞.
• Si u 0 > 0, comme l’intervalle ] 0, +∞ [ est stable par f , la suite (u n ) est décroissante positive, donc converge, et sa limite est nulle.
• Si u 0 = 0, alors (u n ) est la suite nulle.
2) Cherchons a pour que (u
a
n+1 − u
a
n ) ait une limite finie non nulle. On a
u
a
n+1 − u
a
n = u
a
n (e
−au n − 1) .
Puisque (u n ) converge vers 0, en utilisant l’équivalent e
u
− 1 ∼
u→0
u, on obtient
u
a
n+1 − u
a
n
∼
n→∞
−au
a+1
n
. La suite (au
a+1
n ) admet une limite finie non nulle si et
seulement si a = −1. La suite (v n ) =
1
u n+1
−
1
u n
converge alors vers 1. Par
ailleurs, pour tout n ∈ N
∗ , on a
S n =
1
n
n−1
k=0
v k =
1
n
n−1
k=0
1
u k+1
−
1
u k
=
1
n
1
u n
−
1
u 0
.
Le théorème de Cesàro entraîne que la suite (S n ) converge vers 1. On en déduit que
la suite
1
nu n
converge vers 1, et donc que u n ∼
n→∞
1
n
.
Exercice 1.7
Centrale PSI 2005
Avec Maple : soit la fonction f définie sur R
∗ par f (x) = x ln |x|.
1) Donner l’allure de f , le signe de f (x) − x, le signe de f (x) + x .
2) Etudier la suite définie par U n+1 = f (U n ) avec U 0 = 3 .
3) Donner le signe de f ◦ f (x) − x .
4) Etudier la suite définie par W n+1 = f (W n ) avec W 0 = 1/4 .
1) Remarquons que la fonction f est impaire et se prolonge par la valeur 0 en 0.
La fonction f est dérivable sur R
∗ et l’on a f
(x) = ln |x| + 1 . Sur ] 0, +∞ [ , la
fonction f
est du signe de x − e
−1 . Elle admet donc un minimum local en 1/e et
f (1/e) = −1/e .
Remarquons aussi que f (x)/x tend vers −∞ quand x tend vers 0. La fonction f
n’est pas dérivable en 0 et y admet une tangente verticale.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit