4
Chap. 1. Suites Numériques
Or
n−1
k=1
1
k
∼
n→∞
n
k=1
1
k
∼
n→∞
ln n (voir exercice 2.3 page 9 dans notre livre d’Analyse
de Première année) et par conséquent u n ∼
n→∞
2 ln n
n
.
Exercice 1.5
CCP MP 2006, très proche de CCP MP 2007
1) Montrer que deux suites réelles (u n ) n∈N et (v n ) n∈N , équivalentes en +∞, sont
de même signe à partir d’un certain rang.
2) Quel est le signe de u n = sin
1
n
− th
1
n
au voisinage de +∞ ?
1) Il s’agit d’un résultat à garder présent à l’esprit.
Par hypothèse, il existe une suite (´ n ) de limite nulle telle que, pour tout n supérieur
à un certain entier n 0 , on a u n = v n (1 + ´ n ). En particulier pour ´ = 1/2, il existe
un entier n 1 n 0 tel que ∀n n 1 , −1/2 ´ n 1/2, ce qui implique que
1/2 1 + ´ n 3/2, et par conséquent, u n et v n sont de même signe pour tout
n n 1 .
2) En utilisant les développements limités on sait que, au voisinage de 0,
sin x = x −
x
3
6
+ o(x
3 ) et th x = x −
x
3
3
+ o(x
3 ),
d’où sin x − th x =
x
3
6
+ o(x
3 ) ∼
0
x
3
6
. Par conséquent,
u n = sin
1
n
− th
1
n
∼
n→+∞
1
6n 3 > 0 .
On déduit de la première question, que u n est positive à partir d’un certain rang.
Exercice 1.6
Centrale PSI 2006, Polytechnique MP 2006 et 2007
Soit la suite réelle définie par u 0 ∈ R et ∀n ∈ N, u n+1 = u n exp(−u n ) .
1) Etudier cette suite selon u 0 ∈ R.
2) On suppose u 0 ∈ R
∗
+ . Déterminer un équivalent de u n .
On pourra commencer par déterminer a réel tel que v n = u
a
n+1 − u
a
n ait une limite
finie non nulle, puis appliquer le théorème de Cesàro à cette suite (v n ) n∈N .
N.B. : Le théorème de Cesàro n’est au programme ni de PC ni de PSI. Néanmoins
beaucoup d’examinateurs de PC et de PSI le supposent connu ou demandent de
l’utiliser puis de le démontrer, nous l’avons introduit dans notre livre d’Analyse
de première année voir exercice 10.14 pages 162-163.
Chap. 1. Suites Numériques
Or
n−1
k=1
1
k
∼
n→∞
n
k=1
1
k
∼
n→∞
ln n (voir exercice 2.3 page 9 dans notre livre d’Analyse
de Première année) et par conséquent u n ∼
n→∞
2 ln n
n
.
Exercice 1.5
CCP MP 2006, très proche de CCP MP 2007
1) Montrer que deux suites réelles (u n ) n∈N et (v n ) n∈N , équivalentes en +∞, sont
de même signe à partir d’un certain rang.
2) Quel est le signe de u n = sin
1
n
− th
1
n
au voisinage de +∞ ?
1) Il s’agit d’un résultat à garder présent à l’esprit.
Par hypothèse, il existe une suite (´ n ) de limite nulle telle que, pour tout n supérieur
à un certain entier n 0 , on a u n = v n (1 + ´ n ). En particulier pour ´ = 1/2, il existe
un entier n 1 n 0 tel que ∀n n 1 , −1/2 ´ n 1/2, ce qui implique que
1/2 1 + ´ n 3/2, et par conséquent, u n et v n sont de même signe pour tout
n n 1 .
2) En utilisant les développements limités on sait que, au voisinage de 0,
sin x = x −
x
3
6
+ o(x
3 ) et th x = x −
x
3
3
+ o(x
3 ),
d’où sin x − th x =
x
3
6
+ o(x
3 ) ∼
0
x
3
6
. Par conséquent,
u n = sin
1
n
− th
1
n
∼
n→+∞
1
6n 3 > 0 .
On déduit de la première question, que u n est positive à partir d’un certain rang.
Exercice 1.6
Centrale PSI 2006, Polytechnique MP 2006 et 2007
Soit la suite réelle définie par u 0 ∈ R et ∀n ∈ N, u n+1 = u n exp(−u n ) .
1) Etudier cette suite selon u 0 ∈ R.
2) On suppose u 0 ∈ R
∗
+ . Déterminer un équivalent de u n .
On pourra commencer par déterminer a réel tel que v n = u
a
n+1 − u
a
n ait une limite
finie non nulle, puis appliquer le théorème de Cesàro à cette suite (v n ) n∈N .
N.B. : Le théorème de Cesàro n’est au programme ni de PC ni de PSI. Néanmoins
beaucoup d’examinateurs de PC et de PSI le supposent connu ou demandent de
l’utiliser puis de le démontrer, nous l’avons introduit dans notre livre d’Analyse
de première année voir exercice 10.14 pages 162-163.