Chap. 1. Suites Numériques
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2) Écrivons tout d’abord, pour tout n 4,
u n =
n
k=0
1
n
k
=
1
n
0
+
1
n
1
+
n−2
k=2
1
n
k
+
1
n
n−1
+
1
n
n
= 2 +
2
n
+
n−2
k=2
1
n
k
.
Il en résulte d’après la question précédente
u n 2 +
2
n
+
n−2
k=2
2
n(n − 1)
= 2 +
2
n
+
2(n − 3)
n(n − 1)
.
On obtient ainsi l’encadrement 2 +
2
n
u n 2 +
2
n
+
2(n − 3)
n(n − 1)
. D’où lim
n−→+∞
u n = 2.
3) Soit n 4. Posons v n = u n − 2 =
2
n
+
n−2
k=2
1
n
k
et cherchons un équivalent de la
suite (v n ) n4 . On a pour tout n 6,
v n =
2
n
+
4
n(n − 1)
+
n−3
k=3
1
n
k
.
D’autre part, pour tout k ∈ {3, . . . , n − 3}, on a
n
k
=
n(n − 1)(n − 2)
1·2·3
k
j=4
n − k − 3 + j
j
n(n − 1)(n − 2)
6
,
d’où 0 v n −
2
n
4
n(n − 1)
+
6
(n − 1)(n − 2)
. Ainsi v n =
2
n
+ o
1
n
et donc
u n − 2 ∼
n→+∞
2
n
.
Exercice 1.4
CCP MP 2005
Pour tout entier n 2, on pose u n =
i+ j=n
i1, j1
1
i j
.
Déterminer un équivalent simple de u n lorsque n tend vers +∞.
Pour tout entier n 2, on a :
u n =
n−1
k=1
1
k(n − k)
=
n−1
k=1
1
n
1
k
+
1
n − k
=
1
n
n−1
k=1
1
k
+
1
n − k
=
2
n
n−1
k=1
1
k
.
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