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Chap. 1. Suites Numériques
Exercice 1.2
CCP MP et PC 2006
Soit (u n ) n∈N une suite réelle. Montrer que si les suites extraites (u 2n ) n∈N ,
(u 2n+1 ) n∈N et (u 3n ) n∈N convergent alors la suite (u n ) n∈N converge.
Par hypothèse, les suites extraites (u 2n ) n∈N , (u 2n+1 ) n∈N et (u 3n ) n∈N convergent,
notons a, b et c leurs limites respectives.
La suite (u 6n ) n∈N est une suite extraite de (u 2n ) n∈N . Elle converge donc vers
a = lim
n→+∞
u 2n . Mais c’est aussi une suite extraite de (u 3n ) n∈N . Elle converge donc
vers c = lim
n→+∞
u 3n . Il en résulte que a = c.
La suite (u 6n+3 ) n∈N est une suite extraite de (u 2n+1 ) n∈N car 6n + 3 = 2(3n + 1) + 1.
Elle converge donc vers b = lim
n→+∞
u 2n+1 . Mais c’est aussi une suite extraite de
(u 3n ) n∈N . Elle converge donc vers c. Il en résulte que b = c.
On a donc a = b, et comme les suites des termes de rang pair et de rang impair
convergent vers la même limite, la suite (u n ) n∈N converge vers cette limite commune.
Remarque
Il arrive que les suites extraites (u 2n ) n∈N et (u 2n+1 ) n∈N convergent, alors que la suite
(u n ) n∈N ne converge pas. C’est le cas par exemple de la suite de terme général
u n = (−1)
n .
Exercice 1.3
CCP PSI 2005, diverses écoles MP 2007
1) Montrer que : ∀n 4, ∀k ∈ {2, . . . , n − 2},
n
k
n(n − 1)
2
.
2) En déduire que la suite de terme général u n =
n
k=0
1
n
k
converge et déterminer
sa limite .
3) Question de la rédaction : Déterminer un équivalent de u n − lorsque n tend
vers +∞.
1) On a, pour tout n 4 et tout k ∈ {2, . . . , n − 2},
n
k
=
n!
k!·(n − k)!
=
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k!
=
n(n − 1)
1·2
k
j=3
n − k − 2 + j
j
n(n − 1)
2
.