Chap. 1. Suites Numériques 11
2) En utilisant la commande MAPLE
fsolve(x^n+x^2-1,x,x=0..+infinity);
on obtient
x 3 = 0.7548776662,
x 4 = 0.7861513778,
x 10 = 0.8688369618,
x 100 = 0.9715897359 , x 500 = 0.9918037085 .
3) Les calculs précédents laissent supposer que la suite (x n ) n1 converge vers 1. On
peut déjà montrer que la suite (x n ) n1 est croissante. En effet, on a pour tout n ∈ N
∗
f n+1 (x n ) = x
n+1
n
+ x
2
n − 1 = x
n+1
n
− x
n
n = x
n
n (x n − 1) < 0 = f n+1 (x n+1 )
d’où x n < x n+1 , puisque f n+1 est strictement croissante. Etant croissante et majorée
par 1, la suite (x n ) est convergente.
Montrons, comme le laisse supposer les simulations numériques qu’elle a 1
pour limite. Soit ´ ∈ ] 0, 1 [ . On a f n (1 − ´) = (1 − ´)
n + (1 − ´)
2
− 1. Donc
lim
n→+∞
f n (1 − ´) = (1 − ´)
2
− 1 < 0. On en déduit qu’il existe un entier n 0 tel que
pour tout n n 0 , on ait f n (1 − ´) < 0 et donc (1 − ´) < x n car f n est strictement
croissante. Ainsi pour tout n n 0 , on a 1 − ´ < x n < 1 + ´. Ce qui montre que (x n )
converge vers 1.
4) Pour tout n ∈ N
∗ , posons a n = 1 − x n . La suite (a n ) n1 est décroissante et
converge vers 0. En partant de la relation (1 − a n )
n = 1 − (1 − a n )
2 = 2a n − a
2
n ,
on déduit n ln(1 − a n ) = ln a n + ln(2 − a n ) et donc −na n ∼
n→+∞
ln a n .
Supposons que a n ∼
n→+∞
ln
a n/n
b . Alors ln a n = a ln ln n − b ln n ∼
n→+∞
−b ln n ,
et donc −n
1−b ln
a n
∼
n→+∞
−b ln n . Cette relation n’est possible qu’en ayant
a = b = 1 . On va donc montrer que a n ∼
n→+∞
ln n/n en encadrant a n par deux
suites équivalentes à ln n/n. Prenons tout d’abord s n = ln n/n . En remarquant que
n ln(1 − ln n/n) = − ln n + O((ln n)
2 /n) = − ln n + o(1) , on obtient
f (1 − s n ) = e
n ln(1−ln n/n) +
ln n
n
2
− 2
ln n
n
= e
− ln n+o(1)
− 2
ln n
n
1 −
ln n
2n
= −2
ln n
n
1 −
ln n
2n
−
e
o(1)
2 ln n
∼
n→+∞
−2
ln n
n
.
Cette expression est négative à partir d’un certain rang et on en déduit que a n s n à
partir d’un certain rang.
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