10.2 Exercices d’entraînement 239
Par encadrement, on obtient lim
x→+∞
g(x) = 0. En conclusion I
2 =
p
4
et puisque
I 0, on obtient I =
√
p
2
.
Exercice 10.6
Mines-Ponts MP 2007
1. Étudier J (x) =
+∞
0
e
−t e
it x
√
t
dt.
2. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une équation différentielle
linéaire d’ordre 1 vérifiée par J et en déduire une forme simplifiée de J (x)
(on rappelle que
+∞
0
e
−t
2
dt =
√
p
2
- voir exercice précédent).
1. On définit h(x, t) =
e
−t e
it x
√
t
pour (x, t) ∈ R × R
∗
+ (on choisit ces deux intervalles
car il n’y a aucun problème de définition sur x et car on intègre - par rapport à t
- de 0 à +∞ une fonction qui n’est pas définie en 0. La dépendance en x se situe
simplement dans e
i xt , complexe de module 1. Les dominations sur R vont être
très simples à obtenir.
• Pour tout x ∈ R, t → h(x, t) est continue sur R
∗
+
• Pour tout t > 0, x → h(x, t) est de classe C
1 sur R avec
∂h
∂x
(x, t) = i
√
te
−t e
it x .
• Pour tout x ∈ R, on a |h(x, t)| =
e
−t
√
t
= w(t). Or w est continue sur R
∗
+ et
vérifie w(t) ∼
t→0
1
√
t
, ainsi que w(t) = o
t→+∞
1
t 2
, ce qui permet de montrer
que w est intégrable sur R
∗
+ . Ainsi, pour tout x ∈ R, t → h(x, t) est intégrable
sur R
∗
+ .
• De même, on a, pour x ∈ R et t > 0, |
∂h
∂x
(x, t)| =
√
te
−t = c(t) avec c
continue et intégrable sur R
∗
+ .
D’après le théorème de dérivation, la fonction J est de classe C
1 sur R avec, pour
tout x ∈ R, J
(x) = i
+∞
0
√
te
−t e
i xt dt.
2. On doit trouver une relation entre J et J
à l’aide d’une intégration par parties.
Les écritures de J et J
font apparaître trois facteurs. On peut regrouper les deux
exponentielles afin d’avoir un seul produit et ainsi réaliser l’intégration par parties
(en constatant de plus que t →
1
√
t
s’intègre en t → 2
√
t). Les fonctions utilisées
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