238 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
10.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 10.5
Mines-Ponts MP 2007
Soient f (x) =
x
0
e
−t
2
dt
2
et g(x) =
1
0
e
−x
2 (1+t
2 )
1 + t 2 dt.
1. Montrer que f et g sont de classe C
1 sur R
+ et déterminer leur dérivée.
2. Montrer que pour tout x 0, on a f (x) + g(x) =
p
4
.
3. En déduire I =
+∞
0
e
−t
2
dt.
1. On pose f = F
2 où F : x →
x
0
e
−t
2
dt est la primitive s’annulant en 0 de
x → e
−x
2
. La fonction F est de classe C
1 sur R
+ . Donc f l’est également, avec
pour tout x 0, f
(x) = 2F
(x)F(x) = 2e
−x
2
x
0
e
−t
2
dt.
Posons h : (x, t) →
e
−x
2 (1+t
2 )
1 + t 2 pour (x, t) ∈ R
+
× [0, 1]. Pour tout x 0,
t → h(x, t) est continue sur [0, 1] et donc intégrable sur [0, 1]. Pour tout
t ∈ [0, 1], x → h(x, t) est de classe C
1 sur R
+ avec
∂h
∂x
(x, t) = −2xe
−(1+t
2 )x
2
.
Pour (x, t) ∈ R
+
× [0, 1],
∂h
∂x
(x, t)
1 et t → 1 est continue et intégrable sur [0, 1]. Donc g est de classe C
1 sur R
+ avec, pour tout x 0,
g
(x) = −2x
1
0
e
−x
2 (1+t
2 ) dt = −2e
−x
2
1
0
e
−x
2 t
2
xdt. Le changement linéaire
u = xt donne ∀x ∈ R
+ , g
(x) = −2e
−x
2
x
0
e
−u
2
du.
2. D’après les calculs précédents, f + g est de classe C
1 sur R
+ , de dérivée nulle. La
fonction f +g est donc constante. Or f (0) = 0 et g(0) =
1
0
dt
1 + t 2 = Arctan 1 =
p
4
.
Pour tout x 0, f (x) + g(x) =
p
4
.
3. La fonction w : t → e
−t
2
est intégrable sur R
+ car w est continue sur R
+ et
w(t) = o
t→+∞
(e
−t ). Ainsi lim
x→+∞
f (x) = I
2 . On détermine la limite de g en
+∞ par encadrement. Pour x 0, on a 0 g(x)
1
0
e
−x
2
1 + t 2 dt =
p
4
e
−x
2
.