10.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 237
3. f est croissante, elle admet donc une limite en +∞, finie ou infinie. On la note
. Lorsque x devient grand, le terme Arctan(xt) se rapproche de p/2 (sauf pour
t = 0). Pour tout x > 0, f (x)
p
2
+∞
0
dt
1 + t 2 =
p
2
4
. On en déduit que la limite
est finie et
p
2
4
. On propose deux méthodes pour déterminer .
• Soit a > 0. On a f (x)
+∞
a
Arctan xt
1 + t 2 dt Arctan(ax)
+∞
a
dt
1 + t 2 .
Lorsque x tend vers +∞, on obtient la minoration
p
2
+∞
a
dt
1 + t 2 . Cette
minoration est valable pour tout a > 0, donc lorsqu’on fait tendre a vers 0, on
obtient
p
2
4
. Finalement lim
x→+∞
f (x) =
p
2
4
.
• Puisque f admet une limite finie en +∞, on a par exemple, lim
n→+∞
f (n) = .
Or f (n) =
+∞
0
Arctan(nt)
1 + t 2 dt. Soit g n (t) =
Arctan(nt)
1 + t 2 . La fonction g n est
continue sur R
+ , intégrable sur R
+ , la suite (g n ) converge simplement vers
t →
p/2
1 + t 2 sur R
∗
+ et, pour tout n ∈ N et tout t 0, |g n (t)|
p/2
1 + t 2 . La
fonction t →
p/2
1 + t 2 intégrable sur R
∗
+ , donc le théorème de convergence dominée entraîne lim
n→+∞
f (n) =
+∞
0
p/2
1 + t 2 dt =
p
2
4
= .
Ce qu’il faut savoir
domination locale
Lorsqu’on ne parvient pas à appliquer les théorèmes de continuité et de dérivabilité sur un intervalle A (les fonctions majorantes obtenues ne sont pas intégrables
sur l’intervalle I ), on peut essayer d’utiliser ces théorèmes sur les segments inclus
dans A. On prouve alors la continuité ou la dérivabilité sur tout segment inclus
dans A. Cela entraîne la même propriété sur l’union de tous ces segments, c’està-dire sur A.
Remarque
• On fera attention à la rédaction dans ce genre de problèmes. On fixe un segment
[a, b] ⊂ A, on applique le théorème sur ce segment pour conclure dans un
premier temps que la fonction possède la régularité souhaitée sur le segment,
puis sur A tout entier.
• On peut appliquer la même méthode sur un intervalle ]a, +∞[ en appliquant les
théorèmes de continuité ou de dérivabilité sur les intervalles [b, +∞[⊂]a, +∞[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3. f est croissante, elle admet donc une limite en +∞, finie ou infinie. On la note
. Lorsque x devient grand, le terme Arctan(xt) se rapproche de p/2 (sauf pour
t = 0). Pour tout x > 0, f (x)
p
2
+∞
0
dt
1 + t 2 =
p
2
4
. On en déduit que la limite
est finie et
p
2
4
. On propose deux méthodes pour déterminer .
• Soit a > 0. On a f (x)
+∞
a
Arctan xt
1 + t 2 dt Arctan(ax)
+∞
a
dt
1 + t 2 .
Lorsque x tend vers +∞, on obtient la minoration
p
2
+∞
a
dt
1 + t 2 . Cette
minoration est valable pour tout a > 0, donc lorsqu’on fait tendre a vers 0, on
obtient
p
2
4
. Finalement lim
x→+∞
f (x) =
p
2
4
.
• Puisque f admet une limite finie en +∞, on a par exemple, lim
n→+∞
f (n) = .
Or f (n) =
+∞
0
Arctan(nt)
1 + t 2 dt. Soit g n (t) =
Arctan(nt)
1 + t 2 . La fonction g n est
continue sur R
+ , intégrable sur R
+ , la suite (g n ) converge simplement vers
t →
p/2
1 + t 2 sur R
∗
+ et, pour tout n ∈ N et tout t 0, |g n (t)|
p/2
1 + t 2 . La
fonction t →
p/2
1 + t 2 intégrable sur R
∗
+ , donc le théorème de convergence dominée entraîne lim
n→+∞
f (n) =
+∞
0
p/2
1 + t 2 dt =
p
2
4
= .
Ce qu’il faut savoir
domination locale
Lorsqu’on ne parvient pas à appliquer les théorèmes de continuité et de dérivabilité sur un intervalle A (les fonctions majorantes obtenues ne sont pas intégrables
sur l’intervalle I ), on peut essayer d’utiliser ces théorèmes sur les segments inclus
dans A. On prouve alors la continuité ou la dérivabilité sur tout segment inclus
dans A. Cela entraîne la même propriété sur l’union de tous ces segments, c’està-dire sur A.
Remarque
• On fera attention à la rédaction dans ce genre de problèmes. On fixe un segment
[a, b] ⊂ A, on applique le théorème sur ce segment pour conclure dans un
premier temps que la fonction possède la régularité souhaitée sur le segment,
puis sur A tout entier.
• On peut appliquer la même méthode sur un intervalle ]a, +∞[ en appliquant les
théorèmes de continuité ou de dérivabilité sur les intervalles [b, +∞[⊂]a, +∞[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit