236 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
On note h(x, t) =
Arctan(xt)
1 + t 2 pour (x, t) ∈ R × R
+ .
1. Pour tout x ∈ R, la fonction t → h(x, t) est continue sur [0, +∞[. Pour
tout t ∈ R
+ , la fonction x → h(x, t) est continue sur R. Enfin, pour tout
(x, t) ∈ R × R
+ , on a |h(x, t)|
1
1 + t 2 où t →
1
1 + t 2 est une fonction continue
et intégrable sur R
+ . Donc f est définie et continue sur R.
la fonction h est de classe C
1 sur R × R
+ et
∂h
∂x
(x, t) =
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
. Le
meilleur majorant possible de cette dernière fonction, indépendant de x ∈ R,
est sup
x∈R
∂h
∂x
(x, t)
t
1 + t 2 . Mais t →
t
1 + t 2 n’est pas intégrable sur R
+ , on ne
peut donc pas appliquer le théorème de dérivation sur R. On remarque que pour
x = 0, la fonction t →
∂h
∂x
(0, t) =
t
1 + t 2 n’est pas intégrable sur R
+ . Il est donc
impossible d’appliquer le théorème de dérivation sur un intervalle contenant 0.
On choisit alors a > 0. On a
∀x ∈ [a, +∞[, ∀t ∈ R
+ ,
∂h
∂x
(x, t)
t
(1 + a 2 t 2 )(1 + t 2 )
= c(t).
Cette fonction c est intégrable sur R
+ (continue sur R
+ et équivalente à
t → 1/(a
2 t
3 ) lorsque t tend vers +∞). De plus (x, t) →
∂h
∂x
(x, t) est continue sur [a, +∞[×R
+ . Donc f est de classe C
1 sur [a, +∞[ avec, pour tout x a,
f
(x) =
+∞
0
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
dt. Cette dérivée est valable sur tout intervalle
[a, +∞[ avec a > 0. Donc f est de classe C
1 sur R
∗
+ (et donc sur R
∗ par parité).
La fonction f
est positive sur R
+ et f est croissante sur R
+ .
2. On a déjà montré que pour tout x > 0, on a f
(x) =
+∞
0
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
dt.
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples. Pour x = 1, on obtient
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
=
1
1 − x 2
t
1 + t 2 −
x
2
1 − x 2
t
1 + x 2 t 2 . Soit A > 0, on a
A
0
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
dt =
1
2(1 − x 2 )
ln(1 + A
2 ) −
1
2(1 − x 2 )
ln(1 + x
2 A
2 )
=
1
2(1 − x 2 )
ln
1 + A
2
1 + x 2 A 2
.
La limite lorsque A tend vers +∞ est
1
2(1 − x 2 )
ln
1
x 2
=
ln x
x 2 − 1
. La fonction
f
est continue sur R
∗
+ , donc f
(1) = lim
x→1
f
(x) =
1
2
.
On note h(x, t) =
Arctan(xt)
1 + t 2 pour (x, t) ∈ R × R
+ .
1. Pour tout x ∈ R, la fonction t → h(x, t) est continue sur [0, +∞[. Pour
tout t ∈ R
+ , la fonction x → h(x, t) est continue sur R. Enfin, pour tout
(x, t) ∈ R × R
+ , on a |h(x, t)|
1
1 + t 2 où t →
1
1 + t 2 est une fonction continue
et intégrable sur R
+ . Donc f est définie et continue sur R.
la fonction h est de classe C
1 sur R × R
+ et
∂h
∂x
(x, t) =
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
. Le
meilleur majorant possible de cette dernière fonction, indépendant de x ∈ R,
est sup
x∈R
∂h
∂x
(x, t)
t
1 + t 2 . Mais t →
t
1 + t 2 n’est pas intégrable sur R
+ , on ne
peut donc pas appliquer le théorème de dérivation sur R. On remarque que pour
x = 0, la fonction t →
∂h
∂x
(0, t) =
t
1 + t 2 n’est pas intégrable sur R
+ . Il est donc
impossible d’appliquer le théorème de dérivation sur un intervalle contenant 0.
On choisit alors a > 0. On a
∀x ∈ [a, +∞[, ∀t ∈ R
+ ,
∂h
∂x
(x, t)
t
(1 + a 2 t 2 )(1 + t 2 )
= c(t).
Cette fonction c est intégrable sur R
+ (continue sur R
+ et équivalente à
t → 1/(a
2 t
3 ) lorsque t tend vers +∞). De plus (x, t) →
∂h
∂x
(x, t) est continue sur [a, +∞[×R
+ . Donc f est de classe C
1 sur [a, +∞[ avec, pour tout x a,
f
(x) =
+∞
0
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
dt. Cette dérivée est valable sur tout intervalle
[a, +∞[ avec a > 0. Donc f est de classe C
1 sur R
∗
+ (et donc sur R
∗ par parité).
La fonction f
est positive sur R
+ et f est croissante sur R
+ .
2. On a déjà montré que pour tout x > 0, on a f
(x) =
+∞
0
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
dt.
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples. Pour x = 1, on obtient
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
=
1
1 − x 2
t
1 + t 2 −
x
2
1 − x 2
t
1 + x 2 t 2 . Soit A > 0, on a
A
0
t
(1 + x 2 t 2 )(1 + t 2 )
dt =
1
2(1 − x 2 )
ln(1 + A
2 ) −
1
2(1 − x 2 )
ln(1 + x
2 A
2 )
=
1
2(1 − x 2 )
ln
1 + A
2
1 + x 2 A 2
.
La limite lorsque A tend vers +∞ est
1
2(1 − x 2 )
ln
1
x 2
=
ln x
x 2 − 1
. La fonction
f
est continue sur R
∗
+ , donc f
(1) = lim
x→1
f
(x) =
1
2
.