10.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 235
intégrable sur [1, +∞]. Finalement f x est intégrable sur R
∗
+ et F est définie sur R.
Comme Arctan est impaire, F est impaire et il suffit d’étudier F sur [0, +∞[.
2. Pour tout t ∈]0, +∞[, l’application x → f (x, t) est de classe C
1 sur R et on a
∂ f
∂x
(x, t) =
1
(1+t 2 x 2 )(1+t 2 )
. Pour tout t ∈ R
∗
+ et tout x ∈ R
+ , on a
∂ f
∂x
(x, t)
1
1 + t 2 .
L’application t →
1
1 + t 2 est intégrable sur R
+ . Le théorème de dérivation
entraîne que F est de classe C
1 sur R et également, pour tout x ∈ R
+ ,
F
(x) =
+∞
0
1
(1 + t 2 x 2 )(1 + t 2 )
dt. Pour tout x ∈ [0, +∞[ et x = 1, en utilisant
l’identité donnée ainsi que l’intégrabilité sur R
+ des fonctions qui apparaissent
dans cette identité,
F
(x) =
1
1 − x 2 lim
A→+∞
[Arctan t − x Arctan(xt)]
A
0 =
p
2
1 − x
1 − x 2 =
p
2
1
1 + x
.
Par ailleurs, F
est continue sur [0, +∞[, donc pour tout x ∈ [0, +∞[, on a
F
(x) =
p
2(1 + x)
. Sachant que F(0) = 0, on a alors pour tout x ∈ [0, +∞[,
F(x) =
p
2
ln(1+x). Puisque F est impaire, on a F(x) = −F(−x) = −
p
2
ln(1−x)
lorsque x < 0. Pour tout x ∈ R, on a alors F(x) = signe(x)
p
2
ln(1 + |x|).
3. En intégrant par parties, on trouve, si A > 0,
2
A
0
Arctan t
t(1 + t 2 )
dt =
(Arctan t)
2
t
A
0
+
+A
0
(Arctan t)
2
t 2
dt.
Lorsque A tend vers +∞, on obtient
+∞
0
Arctan t
t
2
dt = 2F(1) = p ln 2.
Exercice 10.4
D’après plusieurs concours
Soit f la fonction définie par f (x) =
+∞
0
Arctan(xt)
1 + t 2 dt.
1. Montrer que f est continue sur R et de classe C
1 sur I =]0, +∞[.
2. Déterminer f
et calculer cette intégrale. On déterminera des constantes a et
b telles que
∂
∂x
Arctan(xt)
1 + t 2
= a
t
1 + t 2 + b
t
1 + x 2 t 2 .
3. Déterminer la limite de f en +∞.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit