234 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
Si on peut appliquer le théorème de dérivation, on pourra alors calculer assez facilement f
(x) =
+∞
0
cos(xt)e
−t dt. Soit h(x, t) =
sin(xt)e
−t
t
pour x ∈ R et t > 0.
Pour tout x ∈ R, g x : t → h(x, t) est continue sur R
∗
+ . g x (t) ∼
t→0
xt
t
= x et g x
admet une limite finie en 0. Enfin g x (t) = o
t→+∞
(e
−t ). Ainsi, pour tout x ∈ R, la
fonction g x est continue et intégrable sur R
∗
+ (on montre ainsi la définition de f
sur R). Pour tout t > 0, x → h(x, t) est de classe C
1 sur R
∗
+ et pour t > 0 et
x ∈ R, on a
∂h
∂x
(x, t) = cos(xt)e
−t ainsi que
∂h
∂x
(x, t)
e
−t . Puisque t → e
−t
est intégrable sur R + , le théorème de dérivation s’applique et pour tout x ∈ R,
f
(x) =
+∞
0
cos(xt)e
−t dt. On calcule cette intégrale facilement :
f
(x) = Re
+∞
0
e
−(1+i x)t dt
= Re
1
1 + i x
=
1
1 + x 2 .
Puisque f (0) = 0, pour tout x ∈ R, f (x) = Arctan x.
Exercice 10.3
CCP PC 2007
On pose pour tout x ∈ R, F(x) =
+∞
0
f (x, t) dt où f (x, t) =
Arctan(xt)
t(1 + t 2 )
.
1. Vérifier que la fonction F est bien définie sur R et impaire.
2. Justifier que F est de classe C
1 sur [0, +∞[ et calculer F
(x) pour tout
x ∈ [0, +∞[.
3. Exprimer pour tout x ∈ [0, +∞[, F
(x) sans le symbole
.
On pourra utiliser sans la démontrer l’identité suivante :
∀x ∈ R \ {−1, 1},
1
(1 + t 2 x 2 )(1 + t 2 )
=
1
1 − x 2
1
1 + t 2 −
x
2
1 + t 2 x 2
.
En déduire le calcul de F(x) pour tout x ∈ [0, +∞[, puis pour tout x ∈ R.
4. Déduire de ce qui précède la valeur de l’intégrale
+∞
0
Arctant
t
2
dt.
1. Pour montrer que F est bien définie sur R, il suffit de vérifier que pour tout x ∈ R,
la fonction f x : t → f (x, t) =
Arctan(xt)
t(1 + t 2 )
est intégrable sur ]0, +∞[. Pour tout
x ∈ R
∗ , on a f (x, t) ∼
t→0
xt
t
= x et f x est intégrable sur ]0, 1] car prolongeable
par continuité en 0. De plus, pour tout t > 0, on a | f (x, t)|
p/2
t 3 , donc f x est