10.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 233
Remarque
On peut évidemment se contenter de montrer que f est de classe C
1 , sans établir
d’abord la continuité. Dans ce cas, on ne doit pas oublier de prouver l’intégrabilité
de t → h(x, t) sur R
+ pour x fixé dans R.
2. La valeur obtenue pour f
(x) nous invite à nous diriger vers une intégration par
parties (on dispose d’une primitive immédiate de t → te
−t
2
. Soit x ∈ R. Les
fonctions u : t →
1
2
e
−t
2
et v : t → sin(xt) sont définies et de classe C
1 sur R
+ .
Soit A > 0, on peut alors écrire
A
0
sin(xt)
−te
−t
2
dt =
1
2
sin(xt)e
−t
2
A
0
−
x
2
A
0
cos(xt)e
−t
2
dt,
ce qui donne, lorsque A tend vers +∞, f
(x) = −
x
2
f (x) pour tout x ∈ R. La
résolution de cette équation différentielle donne
∀x ∈ R, f (x) = f (0)e
−x
2 /4 =
√
p
2
e
−x
2 /4 .
Ce qu’il faut savoir
Remarques autour de la fonction dominante
On se place dans le cas du théorème de continuité (les remarques sont identiques
pour le théorème de dérivation).
• La meilleure fonction possible est donnée par w 1 (t) = sup
x∈A
| f (x, t)|, dans le
sens où il n’est pas possible de trouver une fonction inférieure à celle-ci qui
vérifie l’hypothèse de domination. Si cette fonction n’est pas intégrable sur I ,
alors il est impossible d’appliquer le théorème de continuité, on peut se tourner
alors vers la domination locale (voir exercice 10.4, page 235 et remarque qui
suit page 237).
• Pour trouver une dominante, on peut décomposer f en facteurs et majorer séparement les facteurs. Lorsqu’un facteur ne dépend pas de la première variable
(x avec les notations précédentes), la meilleure solution est de ne surtout pas
chercher à le majorer, cela ne peut que créer des problèmes d’intégrabilité supplémentaires (par exemple on ne majore pas
t
1 + t 2 par
1
t
, car cela crée une
difficulté d’intégration en 0 qui n’existait pas avant).
Exercice 10.2
Mines-Ponts MP 2007
Existence et calcul de f (x) =
+∞
0
sin(xt)e
−t
t
dt.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Remarque
On peut évidemment se contenter de montrer que f est de classe C
1 , sans établir
d’abord la continuité. Dans ce cas, on ne doit pas oublier de prouver l’intégrabilité
de t → h(x, t) sur R
+ pour x fixé dans R.
2. La valeur obtenue pour f
(x) nous invite à nous diriger vers une intégration par
parties (on dispose d’une primitive immédiate de t → te
−t
2
. Soit x ∈ R. Les
fonctions u : t →
1
2
e
−t
2
et v : t → sin(xt) sont définies et de classe C
1 sur R
+ .
Soit A > 0, on peut alors écrire
A
0
sin(xt)
−te
−t
2
dt =
1
2
sin(xt)e
−t
2
A
0
−
x
2
A
0
cos(xt)e
−t
2
dt,
ce qui donne, lorsque A tend vers +∞, f
(x) = −
x
2
f (x) pour tout x ∈ R. La
résolution de cette équation différentielle donne
∀x ∈ R, f (x) = f (0)e
−x
2 /4 =
√
p
2
e
−x
2 /4 .
Ce qu’il faut savoir
Remarques autour de la fonction dominante
On se place dans le cas du théorème de continuité (les remarques sont identiques
pour le théorème de dérivation).
• La meilleure fonction possible est donnée par w 1 (t) = sup
x∈A
| f (x, t)|, dans le
sens où il n’est pas possible de trouver une fonction inférieure à celle-ci qui
vérifie l’hypothèse de domination. Si cette fonction n’est pas intégrable sur I ,
alors il est impossible d’appliquer le théorème de continuité, on peut se tourner
alors vers la domination locale (voir exercice 10.4, page 235 et remarque qui
suit page 237).
• Pour trouver une dominante, on peut décomposer f en facteurs et majorer séparement les facteurs. Lorsqu’un facteur ne dépend pas de la première variable
(x avec les notations précédentes), la meilleure solution est de ne surtout pas
chercher à le majorer, cela ne peut que créer des problèmes d’intégrabilité supplémentaires (par exemple on ne majore pas
t
1 + t 2 par
1
t
, car cela crée une
difficulté d’intégration en 0 qui n’existait pas avant).
Exercice 10.2
Mines-Ponts MP 2007
Existence et calcul de f (x) =
+∞
0
sin(xt)e
−t
t
dt.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit