232 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
par morceaux. Cependant dans beaucoup d’exercices où l’intervalle A est à
déterminer, la première hypothèse revient exactement à se poser la question
de l’ensemble de définition de f .
• Il est important de comprendre la double conclusion du théorème de dérivation. Sous les hypothèses données, la fonction f est de classe C
1 et on connait
sa dérivée. Une telle fonction peut-être de classe C
1 sans que sa dérivée soit
donnée par f
(x) =
I
∂h
∂x
(x, t) dt.
Exercice 10.1
CCP PSI 2007, CCP PC 2006
1. Étudier l’existence, la continuité et la dérivabilité sur R de
f : x →
+∞
0
e
−t
2
cos(xt) dt.
2. Déterminer une équation différentielle simple vérifiée par f et en déduire une
valeur simple pour f (x) (on pourra admettre que f (0) =
√
p
2
).
1. On définit h(x, t) = e
−t
2
cos(xt) pour (x, t) ∈ R × R
+ .
• Existence : soit x ∈ R, la fonction t → h(x, t) est continue sur [0, +∞[. Pour
tout t ∈ R
+ on a |e
−t
2
cos(xt)| e
−t
2
et t → e
−t
2
est intégrable sur R
+ (par
exemple parce qu’elle est négligeable devant t → e
−t en +∞). Ainsi, pour tout
x ∈ R, t → h(x, t) est intégrable sur R
+ , ce qui revient à dire que f est définie
sur R.
• Continuité : on applique le théorème de continuité. Pour tout x ∈ R,
t → h(x, t) est continue sur R
+ (et intégrable sur R
+ ) et pour tout t ∈ R
+ ,
x → h(x, t) est continue sur R. De plus, ∀x ∈ R, ∀t ∈ R
+ , |h(x, t)| e
−t
2
= w(t),
et w est continue et intégrable sur R
+ . Donc f est continue sur R.
• Dérivabilité : La fonction t → h(x, t) continue et intégrable sur R
+ pour tout
x ∈ R. Pour tout t ∈ R
+ , la fonction x → e
−t
2
cos(xt) est de classe C
1 sur R,
avec
∂h
∂x
(x, t) = −t sin(xt)e
−t
2
et
∀x ∈ R, ∀t ∈ R
+ ,
∂h
∂x
(x, t)
= te
−t
2 | sin(xt)| te
−t
2
= c(t),
où c est continue sur R
+ et intégrable sur R
+ (par exemple parce que
c(t) = o
t→+∞
(
1
t 2 )).
Donc f est de classe C
1 sur R avec, ∀x ∈ R, f
(x) = −
+∞
0
t sin(xt)e
−t
2
dt.