Intégrales dépendant
d’un paramètre
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10.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Ce qu’il faut savoir
Soient A et I deux intervalles de R et une application h :
A × I → R ou C
(x, t) → h(x, t).
Théorème de continuité : si
(i) pour tout x ∈ A, t → h(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur I
(définition),
(ii) pour tout t ∈ I , x → h(x, t) est continue sur A (régularité),
(iii) il existe une fonction w définie, continue par morceaux et intégrable sur I
telle que ∀(x, t) ∈ A × I , |h(x, t)| w(t) (domination),
alors l’application f :
⎧
⎨
⎩
A → R ou C
x →
I
h(x, t) dt
est définie et continue sur A.
Théorème de dérivation : si
(i ) pour tout x ∈ A, t → h(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur I
(définition),
(ii) pour tout t ∈ I , x → h(x, t) est de classe C
1 sur A (régularité),
(iii) pour tout x ∈ A, t →
∂h
∂x
(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur
I ,
(i v) il existe une fonction c définie, continue par morceaux et intégrable sur I
telle que ∀(x, t) ∈ A × I , |
∂h
∂x
(x, t)| c(t) (domination),
alors l’application f :
⎧
⎨
⎩
A → R ou C
x →
I
h(x, t) dt
est de classe C
1 sur A et pour
tout x ∈ A, f
(x) =
I
∂h
∂x
(x, t) dt.
Remarque
• L’intégrabilité dans l’hypothèse de définition du théorème de continuité n’est
pas nécessaire puisqu’elle est conséquence de la domination par une fonction intégrable. En revanche il ne faut pas oublier de vérifier la continuité