230 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
Exercice 9.21
Mines-Ponts PSI 2006
1. Montrer que pour tout u ∈ [0, 1[, on a ln(1 − u) −u.
2. Soit a < 1 et I n =
n
0
1 −
t
n
n
e
at dt. Montrer que la suite I n converge et
donner sa limite.
1. On peut étudier les variations de la différence, utiliser l’égalité des accroissements
finie (avec f (x) = ln(1 − x) et f
(x) = −
1
1 − x
−1, si u ∈ ]0, 1[, il existe
c ∈]0, 1[ tel que f (u) − f (0) = ln(1 − u) = f
(c).u −1.u) ou encore utiliser
un développement en série entière car ∀u ∈ [0, 1[,
ln(1 − u) = −
+∞
n=1
u
n
n
= −u − u
2 /2 − . . . −u.
2. Afin d’utiliser le théorème de convergence dominée, on doit se ramener sur un
intervalle fixe. Soit
f n (t) =
1 −
t
n
n
e
at
si t ∈ [0, n]
0
s it > n
f n est continue sur R
+ (limite nulle à droite et à gauche de n) et intégrable sur
R
+ puisque continue sur [0, n] et nulle au delà de n. Ainsi I n =
+∞
0
f n (t) dt.
On étudie la convergence simple de la suite de fonctions. Soit t 0. Pour
n > t, on a f n (t) = exp
n ln(1 −
t
n
)
e
at et n ln(1 −
t
n
) ∼
n→+∞
−t. Donc
lim
n→+∞
f n (t) = e
−t e
at = e
(a−1)t . En ce qui concerne la domination, on utilise la
première question. Si t ∈ [0, n], 0 f n (t) e
−nt/n e
at = e
(a−1)t . Si t > n,
f n (t) = 0 e
(a−1)t . Donc, pour tout t 0, pour tout n ∈ N
∗ , 0 f n (t) e
(a−1)t
et puisque a − 1 < 0, t → e
(a−1)t est intégable sur R
+ . On obtient
lim
n→+∞
I n = lim
n→+∞
+∞
0
f n (t) dt =
+∞
0
e
(a−1)t dt =
1
1 − a
.
Remarque
Une erreur fréquente est de majorer f n (t) par e
(a−1)t sur [0, n] et par 0 sur [n, +∞[.
La fonction qui domine dépend encore de n, même si cela n’apparaît pas sur les
valeurs prises par cette fonction.