240 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
sont de classe C
1 sur un segment [a, b] ⊂ R
∗
+ . On obtient alors
b
a
1
√
t
e
(i x−1)t dt =
2
√
te
(i x−1)t
b
a
− 2(i x − 1)
b
a
√
te
(i x−1)t dt.
On a lim
b→+∞
2
√
be
−b e
i xb = 0 (le module est 2
√
be
−b de limite nulle par croissances comparées) et lim
a→0
2
√
ae
−a e
i xa = 0. On obtient alors, en passant aux
limites,
J (x) = −2(i x − 1)
+∞
0
√
te
(i x−1)t dt = −
2(i x − 1)
i
J
(x) = −2(x + i)J
(x)
Finalement J vérifie sur R l’équation différentielle J
(x) = −
x − i
2(x 2 + 1)
J (x).
Une primitive de x → −
x − i
2(x 2 + 1)
= −
x
2(x 2 + 1)
+ i
1
2(x 2 + 1)
est la fonction
x → −
1
4
ln(1 + x
2 ) +
i
2
Arctan x. Ainsi il existe un réel C tel que, pour tout x ∈ R,
on ait J (x) =
C
(1 + x 2 ) 1/4 e
i
2 Arctan x . On a C = J (0) =
+∞
0
e
−t
√
t
dt. Le changement de variable t = u
2 dans cette intégrale donne C = 2
+∞
0
e
−u
2
du =
√
p.
Finalement, ∀x ∈ R, J (x) =
√
p
(1 + x 2 ) 1/4 e
i
2 Arctan x .
Remarque
On fera attention ici à ne pas prendre comme primitive de x →
1
x + i
la fonction
x → ln(x + i ) qui n’est pas définie, ni même x → ln |x + i| qui ne convient pas.
Exercice 10.7
CCP PC 2006
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f : x →
+∞
1
dt
t x (1 + t)
.
Étudier sa continuité, sa dérivabilité, ses variations et ses limites aux bornes.
2. En trouvant une relation entre f (x) et f (x + 1) donner un équivalent de f en
0 et +∞.
1. • Définition : soit x ∈ R. La fonction h x : t →
1
t x (1 + t)
est continue sur [1, +∞[
et h x (t) ∼
+∞
1
t x+1 , ainsi h x est intégrable sur [1, +∞[ si et seulement si x + 1 > 1,
c’est-à-dire si x > 0.