9.2 Exercices d’entraînement 227
donc
+∞
0
| f n (u)| du converge. Le théorème d’intégration terme à terme permet d’écrire
I = 2
+∞
n=1
+∞
0
f n (u) du = 2
+∞
n=1
1
n 2 =
p
2
3
.
3. On définit la fonction h sur R
∗
+ par h(t) =
1
t(e
√
t − 1)
.
• Soit x > 0. La fonction h est continue sur [x, +∞[ et h(t) = o
t→+∞
1
t 2
, donc
h est intégrable sur [x, +∞[. Pour x > 0, f (x) =
+∞
1
h(t) dt −
x
1
h(t) dt.
La fonction h est continue sur R
∗
+ donc f est de classe C
1 sur R
∗
+ et f
= −h.
• Soit t > 0. En appliquant l’égalité des accroissements finis sur [0, t], il existe
c > 0 tel que e
t
− e
0 = e
c (t − 0) t. Cela donne 0 h(t)
1
t
√
t
puis
0 f (x)
+∞
x
dt
t 3/2 =
2
√
x
, et 0 x f (x) 2
√
x. Donc lim
x→0
x f (x) = 0.
• Pour x > 0, on a 0 f (x)
1
x
+∞
x
dt
e
√
t − 1
(cette majoration est
possible car la fonction w : t →
1
e
√
t − 1
est intégrable sur [x, +∞[). De
plus, on peut écrire
+∞
x
w(t) dt =
+∞
1
w(t) dt −
x
1
w(t) dt, si bien que
lim
x→+∞
+∞
x
w(t) dt = 0. Par encadrement lim
x→+∞
x f (x) = 0.
• f est positive, la question de l’intégrabilité revient à l’existence d’une limite
finie pour
A
´
f (t) dt lorsque ´ tend vers 0 et A vers +∞. On intègre par parties
afin d’utiliser tous les résultats précédents :
A
´
f (x) dx = A f (A)−´ f (´)−
A
´
x f
(x) dx = A f (A)−´ f (´)+
A
´
dx
e
√
x − 1
.
Avec
1
e
√
x − 1
=
e
−
√
x
1 − e −
√
x
, on obtient, lorsque ´ tend vers 0 et A vers +∞,
+∞
0
f (x) dx =
+∞
0
e
−
√
x
1 − e −
√
x
dx =
p
2
3
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit