226 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
1. Pour n ∈ N
∗ , justifier l’existence de I n =
+∞
0
te
−nt dt et la calculer.
2. Justifier l’existence de I =
+∞
0
e
−
√
t
1 − e −
√
t
dt et la calculer (pour le calcul,
on utilisera le théorème de convergence dominée).
3. On définit pour x > 0, f (x) =
+∞
x
dt
t(e
√
t − 1)
.
• Justifier l’existence de f , montrer que f est de classe C
1 sur R
∗
+ et déterminer f
.
• Montrer que pour tout t > 0, e
t
− 1 t et en déduire lim
x→0
x f (x) = 0.
• Montrer que lim
x→+∞
x f (x) = 0.
• Montrer que f est intégrable sur R
∗
+ et calculer
+∞
0
f (x) dx.
1. Soit n ∈ N
∗ et f n : t → te
−nt définie et continue sur R
+ . Puisque f n (t) est négligeable devant
1
t 2 lorsque t tend vers +∞, la fonction f n est intégrable sur R
+ . Soit
A > 0,
A
0
te
−nt dt =
−
te
−nt
n
A
0
+
1
n
A
0
e
−nt dt = −
Ae
−n A
n
−
1
n 2
e
−nt
A
0
.
Lorsque A tend vers +∞, on obtient I n =
1
n 2 .
2. Soit a : t →
e
−
√
t
1 − e −
√
t
. La fonction a est continue sur R
∗
+ . En utilisant
e
u
− 1 ∼
u→0
u, on obtient a(t) ∼
t→0
1
√
t
et a est intégrable sur ]0, 1]. De plus
a(t) ∼
t→+∞
e
−
√
t =
o
t→+∞
(
1
t 2 ). Donc a est intégrable sur R
∗
+ . A l’aide du
changement de variable t = u
2 (u → u
2 est une bijection C
1 de R
∗
+ sur luimême), on obtient I =
+∞
0
e
−u
1 − e −u 2u du. Pour u > 0, e
−u
∈ ]0, 1[ et
1
1 − e −u =
+∞
n=0
e
−nu . Ainsi
I = 2
+∞
0
+∞
n=0
ue
−(n+1)u
du = 2
+∞
0
+∞
n=1
ue
−nu
du.
La série de fonctions
f n converge simplement sur R
∗
+ et sa somme est la fonction continue g : u →
ue
−u
1 − e −u . On a
+∞
0
| f n (u)| du =
+∞
0
f n (u) du =
1
n 2 ,