9.2 Exercices d’entraînement 225
x ∈ R, u
n (x) = (−1)
n+1
2nx
(n 2 + x 2 ) 2 . On peut alors prouver au choix la convergence normale de
u
n sur [−A, A], où A > 0, puisque pour x ∈ [−A, A],
|u
n (x)|
2n A
n 4 =
2A
n 3 ou directement sur R en utilisant |2nx| x
2 + n
2 et ainsi
|u
n (x)|
1
n 2 + x 2
1
n 2 . On montre ainsi que f est de classe C
1 sur R.
2. Pour tout t ∈ R
+ , |e
−nt cos(xt)| e
−nt et t → e
−nt est intégable sur R
+ . Cela
prouve l’existence de I n .
I n = Re
+∞
0
e
−(n−i x)t dt
= Re
1
n − i x
=
n
n 2 + x 2 .
3. D’après la question prédédente,
f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n
+∞
0
e
−nt cos(xt) dt =
+∞
n=1
+∞
0
(−1)
n e
−nt cos(xt) dt.
On pose h n (t) = (−1)
n e
−nt cos(xt). La fonction h n est continue et intégrable sur
R
+ . En revanche, le calcul de
+∞
0
|h n (t)| dt n’est pas immédiat. Une majoration
rapide serait
+∞
0
|h n (t)| dt
+∞
0
e
−nt dt = 1/n qui donne un terme général
de série divergente. On note, pour t > 0,
S n (t) =
n
k=1
h k (t) = cos(xt)
n
k=1
(−e
−t )
k
= cos(xt)(−e
−t )
1 − (−1)
n e
−nt
1 + e −t
= − cos(xt)
1 − (−1)
n e
−nt
1 + e t
ce qui permet d’obtenir |S n (t)|
2
1 + e t pour tout t > 0 et tout n ∈ N
∗ . Puisque S n
est une suite de fonctions continues sur R
∗
+ qui converge simplement sur R
∗
+ vers la
fonction continue t → −
cos(xt)
1 + e t et que t →
2
1 + e t est intégrable sur R
∗
+ , le théorème de convergence dominée donne lim
n→+∞
+∞
0
S n (t) dt = −
+∞
0
cos(xt)
1 + e t dt,
avec lim
n→+∞
+∞
0
S n (t) dt = lim
n→+∞
n
k=1
+∞
0
h k (t) dt =
+∞
k=1
(−1)
n I n = f (x).
Exercice 9.18
Navale MP 2005, CCP PC 2007
(Dans cet exercice, on pourra utiliser
+∞
n=1
1
n 2 =
p
2
6
).
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