224 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
n ∈ N
∗ ,
I
S(t) dt =
I
S n (t) dt +
I
R n (t) dt =
n
p=1
I
u p (t) dt +
I
R n (t) dt
=
p
2
n
p=1
(−1)
p
p
+
I
R n (t) dt.
Lorsque n tend vers +∞, on obtient
I
S(t) dt =
p
2
+∞
p=1
(−1)
p
p
= −
p
2
ln 2.
• par le théorème de convergence dominée : pour tout n ∈ N
∗ , on peut de nouveau écrire
I
S n (t) dt =
p
2
n
p=1
(−1)
p
p
. La suite de fonctions continues (S n )
converge simplement sur I vers la fonction continue S. Pour tout n ∈ N
∗ , la
somme S n est la somme partielle d’une série alternée qui vérifie le critère spécial des séries alternées, si bien que |S n (t)| |u 1 (t)| pour tout t > 0. La fonction |u 1 | est continue et intégrable sur I . Le théorème de convergence dominée
appliqué à la suite (S n ) donne lim
n→+∞
I
S n (t) dt =
I
S(t) dt, ce qui redonne le
résultat.
Exercice 9.17
CCP PC 2006
On note f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n
n
n 2 + x 2 .
1. Montrer que f est de classe C
1 sur R.
2. Soit n ∈ N
∗ , calculer I n =
+∞
0
e
−nt cos(xt) dt après avoir justifié son existence.
3. Montrer que f (x) = −
+∞
0
cos(xt)
1 + e t dt.
On note, pour n ∈ N
∗ , u n (x) = (−1)
n
n
n 2 + x 2 .
1. Soit x ∈ R et g : t →
t
t 2 + x 2 . La fonction g est de classe C
1 sur [1, +∞[ et
pour tout t 1, g
(t) =
x
2
− t
2
(x 2 + t 2 ) 2 donc g est décroissante sur [|x|, +∞[. On
peut donc appliquer le critère spécial des séries alternées, ce qui prouve la convergence simple de
u n sur R. La fonction u n est de classe C
1 sur R et pour tout