9.2 Exercices d’entraînement 223
On utilise la linéarité de l’intégrale sur la somme finie et on montre que
lim
n→+∞
I
R n (t) dt = 0, par exemple en majorant le reste.
Exercice 9.16
CCP PSI 2007 K
1. Montrer que S : t →
+∞
n=1
(−1)
n
1 + n 2 t 2 est définie et continue sur I = R
∗
+ .
2. Prouver l’existence et calculer
+∞
0
S(t) dt. On donne
+∞
n=1
(−1)
n
n
= − ln 2.
1. Pour n ∈ N
∗ , on définit une fonction u n sur R
∗
+ par u n (t) =
(−1)
n
1 + n 2 t 2 . Si t > 0,
alors la série
u n (t) est une série alternée qui vérifie le critère spécial des séries
alternées. Ainsi S est définie sur R
∗
+ . On note, pour n ∈ N
∗ , S n =
n
p=1
u p et
R n = S − S n . Pour tout n ∈ N
∗ , u n est continue sur R
∗
+ . Soit a > 0, pour tout
t ∈ [a, +∞[, on a |u n (t)|
1
1 + n 2 a 2 , terme général d’une série convergente. La
série
u n converge normalement sur [a, +∞[ et S est continue sur tout intervalle
[a, +∞[ avec a > 0, donc S est continue sur R
∗
+ .
2. On s’attend à utiliser une permutation série-intégrale. Les fonctions u n sont continues et intégrables sur [0, +∞[. Pour A > 0, on a
A
0
1
1 + n 2 t 2 dt =
Arctan(n A)
n
donc
+∞
0
u n (t) dt =
p
2n
. On constate que
I
|u n (t)| dt =
p
2n
, terme général
d’une série divergente, donc on ne peut pas appliquer le théorème d’intégration
terme à terme. On applique les méthodes décrites précédemment :
• par majoration du reste : si t > 0, la série
u n (t) est une série qui vérifie
le critère spécial des séries alternées. Cela permet d’obtenir la majoration
|R n (t)| |u n+1 (t)|. Ainsi, la fonction R n est intégrable sur I et on a
|
I
R n (t) dt|
I
|u n+1 (t)| dt =
p
2(n + 1)
. On en déduit lim
n→+∞
I
R n (t) dt = 0.
Puisque S = S 1 + R 1 , S est également intégrable sur I . De plus, pour tout
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