222 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
2. On reprend la transformation précédente, puisque e
−2x
∈ ]0, 1[ si x > 0, on a
ln(th x) = ln(1 − e
−2x ) − ln(1 + e
−2x ) = −
+∞
n=1
e
−2nx
n
−
∞
n=1
(−1)
n−1 e
−2nx
n
= −
+∞
n=1
(1 + (−1)
n−1 )
e
−2nx
n
= −
+∞
p=0
2
e
−2(2 p+1)x
2 p + 1
.
Pour tout p ∈ N, la fonction u p : x → 2
e
−2(2 p+1)x
2 p + 1
est continue et intégrable sur
R
+ , et on a
+∞
0
|u p (x)| dx =
+∞
0
u p (x) dx =
2
2(2 p + 1)
1
2 p + 1
=
1
(2 p + 1) 2 .
Ainsi, la série
u p converge simplement sur ]0, +∞[, et f =
+∞
p=0
u p est continue sur R
∗
+ . En outre, la série
+∞
0
|u p (t)| dt converge. Cela prouve de nouveau que f est intégrable sur I et
+∞
0
ln(th x) dx = −
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 2 . En utilisant la somme S =
+∞
n=1
1
n 2 =
p
2
6
, on obtient
+∞
p=0
1
(2 p + 1) 2 =
+∞
n=1
1
n 2 −
+∞
p=1
1
(2 p) 2 = S −
1
4
S =
p
2
8
.
Ce qu’il faut savoir
Méthode
La dernière hypothèse du théorème d’intégration terme à terme sur un intervalle I
peut être mise en défaut (voir exercice suivant). Dans ce cas, on peut appliquer au
moins deux autres méthodes. Pour n ∈ N et t ∈ I , on pose S n (t) =
n
k=0
f k (t).
1. On permute d’abord la somme finie et l’intégrale. On se ramène ainsi à une permutation entre une limite lorsque n tend vers +∞ et une intégrale. On applique
alors le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (S n ).
2. On écrit S(t) = S n (t) + R n (t) pour n ∈ N et t ∈ I , puis
I
S(t) dt =
I
S n (t) dt +
I
R n (t) dt.