228 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
9.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 9.19
CCP PC 2006
Pour n ∈ N
∗ , on pose u n =
n
k=1
k
n
n
, et f n définie sur R + par
f n (x) =
⎧
⎨
⎩
1 −
E(x)
n
n
si 0 x < n + 1
0
s i x n + 1
1. Montrer que pour tout n 1, on a
u n =
n
k=0
1 −
k
n
n
=
+∞
0
f n (x) dx.
2. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions ( f n ).
3. En déduire la limite de (u n ).
1. On commence par un changement d’indice pour transformer la première somme
(k devient n − k) et u n =
n
k=1
n − k
n
n
=
n−1
k=0
1 −
k
n
n
. On peut ajouter le terme d’indice n qui est nul. Soit k ∈ N
∗ , lorsque x ∈ [k, k + 1[, on a
f n (x) =
1 −
k
n
n
et
k+1
k
f n (x) dx =
1 −
k
n
n
puis
+∞
0
f n (x) dx =
n+1
0
f n (x) dx =
n
k=0
k+1
k
f n (x) dx = u n .
2. Soit x > 0. Dès que n > x − 1, on a f n (x) =
1 −
E(x)
n
n
, ce qui donne
lim
n→+∞
f n (x) = e
−E(x) . Cette limite est valable si x = 0 et la suite ( f n ) converge
simplement sur R
+ vers la fonction f : x → exp(−E(x)).
3. Pour tout u < 1, on a ln(1−u) −u. Soient n ∈ N
∗ et x ∈ [0, n[, on a
E(x)
n
< 1,
par conséquent,
0 f n (x) = exp
n ln(1 −
E(x)
n
exp(−n
E(x)
n
) = exp(−E(x)).
La fonction f n est nulle à la fois sur [n, n + 1] et sur [n + 1, +∞[. On a donc,
∀n ∈ N
∗ , ∀x 0, | f n (x)| exp(−E(x)).