9.2 Exercices d’entraînement 219
On note alors f n : u →
ln(1 + u)
u 1−1/n pour n ∈ N
∗ et u ∈ ]0, 1]. Cette suite de fonctions
converge simplement vers la fonction f : u →
ln(1 + u)
u
sur ]0, 1] et
1
u 1−1/n = exp((1 − 1/n)(− ln u)) exp(− ln u) = 1/u
puisque u ∈ ]0, 1] et − ln u 0. Donc, pour tout u ∈ ]0, 1] et n ∈ N
∗ ,
|g n (u)|
ln(1 + u)
u
. Cette dernière fonction est continue sur ]0, 1] et se prolonge par continuité en 0 par la valeur 1. Donc elle est intégrable sur ]0, 1]. Le
théorème de convergence dominée donne alors lim
n→+∞
I n =
1
0
ln(1 + u)
u
du.
Exercice 9.12
CCP PSI 2005
Montrer que
1
0
t
2 ln t
t 2 − 1
dt =
+∞
n=1
1
(2n + 1) 2 .
Lorsque 0 < t < 1, on a
t
2 ln t
t 2 − 1
= −(t
2 ln t)
+∞
n=0
t
2n = −
+∞
n=1
t
2n ln t. Posons, pour
n ∈ N
∗ , I n =
1
0
t
2n ln t dt. Cette intégrale a un sens puisque la fonction t → t
2n ln t
qui est continue sur ] 0, 1 ] se prolonge par continuité en 0. On calcule cette intégrale
en intégrant par parties. Soit ´ > 0, on a
1
´
t
2n ln t dt =
t
2n+1
2n + 1
ln t
1
´
−
1
´
t
2n
2n + 1
dt =
t
2n+1
2n + 1
ln t −
t
2n+1
(2n + 1) 2
1
´
.
Lorsque ´ tend vers 0, on obtient I n = −
1
(2n + 1) 2 . Puisque I n ∼
n→+∞
−
1
4n 2 , la
série
I n converge. De plus
1
0
t
2n ln t
dt = |I n | car la fonction intégrée est de
signe fixe. Il résulte alors du théorème d’intégration terme à terme, que la fonction
x →
t
2 ln t
t 2 − 1
est intégrable sur ] 0, 1 [ et que
1
0
t
2 ln t
t 2 − 1
= −
+∞
n=1
I n =
+∞
n=1
1
(2n + 1) 2 .
Exercice 9.13
CCP PSI 2007
Soit (a n ) n∈N une suite bornée de réels.
1. Montrer que la série entière
a n
n!
x
n a un rayon de convergence infini. On
note f la somme de la série entière.
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