220 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
2. Montrer que pour x > 1, on a
+∞
0
f (t)e
−xt dt =
+∞
n=0
a n
x n+1 .
1. Soit M un majorant de la suite (|a n |). Pour tout n ∈ N, on a
a n
n!
M
n!
. La série
entière
M
n!
x
n a un rayon de convergence infini, et par théorème de comparaison, la série entière
a n
n!
x
n a un rayon de convergence infini.
2. Soit x > 1. Pour tout t ∈ R, on a f (t)e
−xt =
+∞
n=0
a n
n!
t
n e
−xt . On définit pour
n ∈ N, la fonction f n sur R
+ par f n (t) =
a n
n!
t
n e
−xt . Chacune des fonctions f n
est continue et intégrable sur R
+ , la série
f n converge simplement sur R
+ et
la somme de cette série de fonctions est la fonction t → f (t)e
−xt . Enfin, pour
tout n ∈ N, on note I n =
+∞
0
t
n e
−xt dt. La suite (I n ) vérifie la relation de
récurrence I n =
n
x
I n−1 pour n 1 (une intégration par partie simple donne
ce résultat) si bien que pout tout n ∈ N, on obtient I n =
n!
x n+1 . On a alors
+∞
0
| f n (t)| dt =
|a n |
n!
I n =
|a n |
x n+1
M
x n+1 . Puisque
1
x
∈ [0, 1[, la série géométrique
M
x n+1 converge. Le théorème d’intégration terme à terme donne le
résultat.
Exercice 9.14
Mines-Ponts PC 2007, CCP PC 2006
1. On définit pour n ∈ N et p ∈ N, I n, p =
1
0
x
n (ln x)
p . Justifier l’existence
de I n, p et déterminer, pour tout n ∈ N et p ∈ N
∗ , une relation entre I n, p et
I n, p−1 . En déduire la valeur de
1
0
x
n (ln x)
n pour n ∈ N.
2. Prouver l’égalité
1
0
x
x dx =
+∞
n=1
(−1)
n−1
n n .
1. Pour n et p dans N, on définit sur ]0, 1] la fonction f n, p par f n, p (x) = x
n (ln x)
p .
Elle est continue sur ]0, 1] et se prolonge par continuité par 0 en 0 lorsque n ∈ N
∗ .
Si n = 0, la fonction x → (ln x)
p est négligeable devant x → x
−1/2 lorsque x