218 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
Exercice 9.10
CCP PSI 2006
Soit f une fonction continue sur [0, 1] à valeurs réelles.
Montrer que lim
n→+∞
n
1
0
x
n f (x) dx = f (1).
On aimerait bien intégrer par parties, en intégrant x → x
n en x →
x
n+1
n + 1
pour compenser le facteur n. Mais c’est impossible sans hypothèse supplémentaire puisqu’il
faudrait alors dériver f . On utilise alors le théorème de convergence dominée après
avoir transformé l’intégrale, qu’on note I n . L’application u → u
1/n est une bijection
C
1 de ]0, 1] dans lui-même (on doit alors considérer l’intégrale comme une intégrale sur l’intervalle ]0, 1]) et puisque x → x
n f (x) est continue sur [0, 1], on peut
effectuer le changement de variable pour obtenir
I n = n
1
n
1
0
u f (u
1/n )u
1/n−1 du =
1
0
u
1/n f (u
1/n ) du
On pose g n (u) = u
1/n f (u
1/n ). Pour tout u ∈ ]0, 1], lim
n→+∞
u
1/n = 1, donc
lim
n→+∞
g n (u) = f (1). Pour la domination, on se donne M un majorant de | f |
sur [0, 1] (il existe puisque f est continue sur ce segment), ce qui permet d’écrire,
pour tout n ∈ N
∗ et pour tout u ∈ ]0, 1], |g n (u)| M avec u → M évidemment
intégrable sur ]0, 1]. Le théorème de convergence dominée permet de conclure
lim
n→+∞
I n =
1
0
f (1) du = f (1).
Remarque
On fera bien attention aux différents passages entre le segment [0, 1] et l’intervalle
]0, 1] afin de pouvoir appliquer les théorèmes (changement de variable, existence
d’un majorant, intégrabilité...)
Exercice 9.11
Mines-Ponts PC 2007
Déterminer la limite de la suite I n = n
1
0
ln(1 + t
n ) dt.
On pourrait être tenté par une intégration par parties pour faire apparaître un 1/n mais
cela ne semble pas évident (le seul sens immédiat consiste à dériver t → ln(1 + t
n ) ce
qui a l’effet contraire). On essaie alors un changement de variable u = t
n , ce qui est
possible car u → u
1/n est bijective et C
1 de ]0, 1] dans lui-même et t → ln(1 + t
n )
est continue sur [0, 1] donc intégrable sur ]0, 1]. On obtient
I n = n
1
0
ln(1 + u)
1
n
u
−1+
1
n
du =
1
0
ln(1 + u)
u
1−
1
n
du.
Exercice 9.10
CCP PSI 2006
Soit f une fonction continue sur [0, 1] à valeurs réelles.
Montrer que lim
n→+∞
n
1
0
x
n f (x) dx = f (1).
On aimerait bien intégrer par parties, en intégrant x → x
n en x →
x
n+1
n + 1
pour compenser le facteur n. Mais c’est impossible sans hypothèse supplémentaire puisqu’il
faudrait alors dériver f . On utilise alors le théorème de convergence dominée après
avoir transformé l’intégrale, qu’on note I n . L’application u → u
1/n est une bijection
C
1 de ]0, 1] dans lui-même (on doit alors considérer l’intégrale comme une intégrale sur l’intervalle ]0, 1]) et puisque x → x
n f (x) est continue sur [0, 1], on peut
effectuer le changement de variable pour obtenir
I n = n
1
n
1
0
u f (u
1/n )u
1/n−1 du =
1
0
u
1/n f (u
1/n ) du
On pose g n (u) = u
1/n f (u
1/n ). Pour tout u ∈ ]0, 1], lim
n→+∞
u
1/n = 1, donc
lim
n→+∞
g n (u) = f (1). Pour la domination, on se donne M un majorant de | f |
sur [0, 1] (il existe puisque f est continue sur ce segment), ce qui permet d’écrire,
pour tout n ∈ N
∗ et pour tout u ∈ ]0, 1], |g n (u)| M avec u → M évidemment
intégrable sur ]0, 1]. Le théorème de convergence dominée permet de conclure
lim
n→+∞
I n =
1
0
f (1) du = f (1).
Remarque
On fera bien attention aux différents passages entre le segment [0, 1] et l’intervalle
]0, 1] afin de pouvoir appliquer les théorèmes (changement de variable, existence
d’un majorant, intégrabilité...)
Exercice 9.11
Mines-Ponts PC 2007
Déterminer la limite de la suite I n = n
1
0
ln(1 + t
n ) dt.
On pourrait être tenté par une intégration par parties pour faire apparaître un 1/n mais
cela ne semble pas évident (le seul sens immédiat consiste à dériver t → ln(1 + t
n ) ce
qui a l’effet contraire). On essaie alors un changement de variable u = t
n , ce qui est
possible car u → u
1/n est bijective et C
1 de ]0, 1] dans lui-même et t → ln(1 + t
n )
est continue sur [0, 1] donc intégrable sur ]0, 1]. On obtient
I n = n
1
0
ln(1 + u)
1
n
u
−1+
1
n
du =
1
0
ln(1 + u)
u
1−
1
n
du.