216 Chap. 9. Théorème de convergence dominée et applications
Puisque lim
n→+∞
sin
x
n
= 0, on a lorsque n tend vers +∞,
n ln
1 − sin
x
n
∼ −n sin
x
n
∼ −n
x
n
= −x (même si x = 0).
La continuité de la fonction exponentielle sur R entraîne lim
n→+∞
f n (x) = e
−x = f (x).
La suite ( f n ) converge simplement vers une fonction continue f sur R + .
Déterminons une fonction intégrable sur R
+ et indépendante de n qui domine la
suite de fonctions ( f n ) : ∀x ∈ [0,
np
2
[, x/n ∈ [0, p/2[ et − sin(x/n) ∈ ] − 1, 0].
On a également ln(1 + u) u si u > −1. D’où
0 f n (x) exp
n(− sin
x
n
)
exp
n(−
2x
np
)
= exp
−
2x
p
.
On note alors w(x) = exp
−
2x
p
pour x 0. On a 0 f n (x) w(x) si
x ∈ [0,
np
2
] d’après ce qu’on vient de montrer, mais également si x >
np
2
puisqu’alors f n (x) = 0. Ainsi ∀x ∈ R
+ , ∀n ∈ N
∗ , | f n (x)| w(x). Comme la
fonction w est continue et intégrable sur R
+ , le théorème de convergence dominée
implique
lim
n→+∞
+∞
0
f n (x) dx = lim
n→+∞
np/2
0
1 − sin(
x
n
)
n
dx =
+∞
0
e
−x dx = 1.
Ce qu’il faut savoir
• Il est assez fréquent d’avoir une suite de fonctions non nulles sur un segment
dont les bornes dépendent de n et nulles ailleurs. Il faut faire attention lors de
l’étude de la convergence simple : on fixe x dans l’intervalle complet d’étude,
on justifie que pour n assez grand, ce x se situe dans l’intervalle où f n est non
nulle et on utilise ainsi la bonne valeur pour f n (x).
• Lorsque la définition de la fonction f n fait apparaître des intervalles dépendant
de n, on fera attention à ce que la limite simple ne soit pas définie sur des
intervalles qui dépendent encore de n, ce qui n’aurait pas de sens. La même
remarque est valable pour la fonction qui domine : elle ne doit pas être définie
sur des intervalles qui dépendent de n.
Exercice 9.9
Pour tout n ∈ N
∗ , on définit la fonction f n sur R par f n (x) = e
−nx
− 2e
−2nx .
1. Montrer que
f n converge simplement sur R
∗
+ et déterminer sa somme f .
2. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ , f n est intégrable sur ]0, +∞[ et que f l’est
également.
Puisque lim
n→+∞
sin
x
n
= 0, on a lorsque n tend vers +∞,
n ln
1 − sin
x
n
∼ −n sin
x
n
∼ −n
x
n
= −x (même si x = 0).
La continuité de la fonction exponentielle sur R entraîne lim
n→+∞
f n (x) = e
−x = f (x).
La suite ( f n ) converge simplement vers une fonction continue f sur R + .
Déterminons une fonction intégrable sur R
+ et indépendante de n qui domine la
suite de fonctions ( f n ) : ∀x ∈ [0,
np
2
[, x/n ∈ [0, p/2[ et − sin(x/n) ∈ ] − 1, 0].
On a également ln(1 + u) u si u > −1. D’où
0 f n (x) exp
n(− sin
x
n
)
exp
n(−
2x
np
)
= exp
−
2x
p
.
On note alors w(x) = exp
−
2x
p
pour x 0. On a 0 f n (x) w(x) si
x ∈ [0,
np
2
] d’après ce qu’on vient de montrer, mais également si x >
np
2
puisqu’alors f n (x) = 0. Ainsi ∀x ∈ R
+ , ∀n ∈ N
∗ , | f n (x)| w(x). Comme la
fonction w est continue et intégrable sur R
+ , le théorème de convergence dominée
implique
lim
n→+∞
+∞
0
f n (x) dx = lim
n→+∞
np/2
0
1 − sin(
x
n
)
n
dx =
+∞
0
e
−x dx = 1.
Ce qu’il faut savoir
• Il est assez fréquent d’avoir une suite de fonctions non nulles sur un segment
dont les bornes dépendent de n et nulles ailleurs. Il faut faire attention lors de
l’étude de la convergence simple : on fixe x dans l’intervalle complet d’étude,
on justifie que pour n assez grand, ce x se situe dans l’intervalle où f n est non
nulle et on utilise ainsi la bonne valeur pour f n (x).
• Lorsque la définition de la fonction f n fait apparaître des intervalles dépendant
de n, on fera attention à ce que la limite simple ne soit pas définie sur des
intervalles qui dépendent encore de n, ce qui n’aurait pas de sens. La même
remarque est valable pour la fonction qui domine : elle ne doit pas être définie
sur des intervalles qui dépendent de n.
Exercice 9.9
Pour tout n ∈ N
∗ , on définit la fonction f n sur R par f n (x) = e
−nx
− 2e
−2nx .
1. Montrer que
f n converge simplement sur R
∗
+ et déterminer sa somme f .
2. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ , f n est intégrable sur ]0, +∞[ et que f l’est
également.