9.2 Exercices d’entraînement 215
pour tout n ∈ N
∗ , | f n (x)| e
−x . Comme la fonction x → e
−x est continue et intégrable sur [1, +∞[, le théorème de convergence dominée implique
lim
n→+∞
I n =
+∞
1
f (t) dt = 0.
2. D’après ce qui vient d’être montré, la fonction f n est continue et intégrable sur
[1, +∞[. L’application w : u → u
1/n est une bijection de [1, +∞[ sur [1, +∞[, de
classe C
1 , donc I n =
+∞
1
1
n
e
−u u
1/n−1 du =
1
n
+∞
1
u
1/n e
−u
u
du.
On pose pour u 1, g n (u) = u
1/n e
−u
u
. Puisque u
1/n = e
(ln u)/n , on a, pour
tout u 1, lim
n→+∞
g n (u) =
e
−u
u
. De plus, pour tout u 1 et tout n ∈ N
∗ , on
a |g n (u)| u
e
−u
u
= e
−u et u → e
−u est intégrable sur [1, +∞[. Le théorème
de convergence dominée entraîne lim
n→+∞
+∞
1
g n (u) du =
+∞
1
e
−u
u
du. Cette
dernière intégrale est non nulle (intégrale d’une fonction continue, positive, non
identiquement nulle sur [1, +∞[), d’où I n ∼
n→+∞
1
n
+∞
1
e
−u
u
du.
Exercice 9.8
CCP PSI 2006
1. Montrer que pour tout t ∈ [0, p/2], on a
2t
p
sin t.
2. On pose, pour n 1,
f n (x) =
⎧
⎨
⎩
1 − sin
x
n
n
si x ∈ [0,
np
2
]
0
s i x >
np
2
Déterminer la limite des suites ( f n (x)) et
+∞
0
f n (x) dx
.
1. La fonction sinus est concave sur [0, p/2]. La corde qui passe par les points (0, 0)
et (p/2, 1) d’équation y =
2
p
x est sous la courbe représentative de sinus (sur
[0, p/2]) et pour tout t ∈ [0, p/2], on a sin t
2t
p
.
2. Soit x ∈ R
+ et n ∈ N
∗ . Si n
2x
p
alors f n (x) = 0. Si n >
2x
p
, on a
x/n ∈ [0, p/2[ donc 1 − sin(x/n) > 0, d’où
f n (x) =
1 − sin
x
n
n
= exp
n ln(1 − sin
x
n
)
.
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